关于满足函数方程$f(mx)=m^x·f(x)$的连续可微函数的存在性问询

嘿，咱们来好好拆解这个函数方程问题：

我们能否找到一个函数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，满足对于自然数 $m \in \mathbb{N}$，有方程 $$f(mx) = m^x \cdot f(x)$$，并且 $f(x)$ 在区间 $[1, \infty) \subset \mathbb{R}$ 上连续且可微？

你的理解没错，这确实不是齐次函数 #

你提到齐次函数是 $h(mx)=m^k h(x)$，其中 $k$ 是固定常数，而这里 $m$ 的指数是变量 $x$，和齐次函数的定义完全不同，这个函数确实是非齐次的。

我们来推导一下是否存在这样的函数 #

首先，先看平凡解：零函数 $f(x)=0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$，显然满足方程，因为两边都是0，而且它在 $[1,\infty)$ 上自然是连续可微的。

那有没有非平凡的非零解呢？咱们一步步分析：

1. 先看自然数点的情况：取 $x=1$，对任意自然数 $m$，代入方程得 $f(m)=m^1 \cdot f(1)=m \cdot C$，其中 $C=f(1)$，也就是说所有自然数点的函数值都是 $f(m)=C \cdot m$。
2. 接下来找矛盾：比如取 $m=2$，$x=2$，代入方程得 $f(4)=2^2 \cdot f(2)=4f(2)$。但根据第一步的结论，$f(4)=4C$，所以 $4f(2)=4C$，即 $f(2)=C$。但再看 $x=1$，$m=2$ 时，$f(2)=2C$，这就得到 $C=2C$，只能推出 $C=0$。
3. 推广到所有 $[1,\infty)$ 的点：既然 $C=0$，所有自然数点的函数值都是0。对于任意有理数 $x=\frac{k}{m}$（$k,m$ 是自然数，$k \geq m$，即 $x \geq1$），代入方程 $f(k)=m^x f(x)$，而 $f(k)=0$，$m^x>0$，所以 $f(x)=0$。因为 $f$ 在 $[1,\infty)$ 连续，而有理数在 $[1,\infty)$ 上稠密，所以整个 $[1,\infty)$ 上 $f(x)=0$。
4. 最后扩展到整个实数域：对于任意 $x<1$，取足够大的自然数 $m$ 使得 $mx \geq1$，代入方程得 $f(mx)=m^x f(x)$，而 $f(mx)=0$，所以 $f(x)=0$。

结论 #

唯一满足所有条件的函数就是零函数：$f(x)=0$，对所有 $x \in \mathbb{R}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1250703