特定对数不等式的证明求助

大家好，我现在正在尝试证明下面这个对数不等式：

$$
\frac{\log(\log(m))}{\log(\log(n))} \left(1 + \frac{\log(n/m)}{\log(n) \log(\log(m))}\right) < 1
$$

其中满足条件 $n > m$。

我猜测常用的对数不等式 $\frac{t}{1+t} < \log(1+t) < t$ 可能是证明这个式子的关键，不过我尝试把这些不等式应用到 $\frac{\log(\log(m))}{\log(\log(n))}$ 这部分的时候遇到了一些瓶颈，没能顺利推进证明。

如果大家有任何思路、建议或者相关的推导技巧，都欢迎分享给我！提前感谢大家的帮助😊

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Asanovic Tomas