关于赋范线性空间乘积上能否定义诱导乘积拓扑的范数的技术问询

大家好，我最近在研究赋范线性空间的乘积拓扑相关问题，有个疑问想请教各位：

首先先回顾一下基础结论：线性空间中的范数可以通过度量
$$d(x,y)=|x-y|$$
诱导出对应的拓扑。

现在考虑一族赋范线性空间的笛卡尔乘积 $\Pi_{j\in J} V_j$，它的乘积拓扑是按一般拓扑空间乘积的标准方式定义的：由所有形如 $\Pi_{j\in J} A_j$ 的集合构成拓扑基，其中每个 $A_j$ 是 $V_j$ 中的开集，且除了有限个 $j$ 之外，$A_j=V_j$。

我的核心问题是：是否存在一个范数，它诱导出的拓扑恰好就是这个乘积拓扑？

我是受到直积（我自己记为 $\Pi^{'}{j\in J}V_j$）的定义启发才想到这个问题的。直积上定义了如下的范数：
$$|x|\infty = \sup_{j\in J} |P_j(x)|$$
这里的 $P_j$ 是到第 $j$ 个分量的投影算子。

按照这个定义，直积其实是笛卡尔乘积的真子集——举个例子，在可数个 $\mathbb{R}$ 的乘积中，序列 $(1,2,3,\dots)$ 就不属于直积。

另外我还注意到一个现象：$|\cdot|\infty$ 诱导的拓扑，并没有让直积继承笛卡尔乘积乘积拓扑的子空间拓扑。我可以通过一个例子来验证这个结论：
考虑直积中的单位球集合：
$${x\in \Pi^{'}{j\in J}V_j \mid |x|\infty <1}$$
如果直积带有从笛卡尔乘积继承来的子空间拓扑，那么应该存在笛卡尔乘积拓扑基中的某个集合 $B$，使得 $B\cap \Pi^{'}{j\in J}V_j$ 完全包含在这个单位球里。

但拓扑基中的集合必然存在某个“无约束”的分量，也就是存在某个下标 $i$，使得对应的 $A_i=V_i$。那我们构造一个向量：第 $i$ 分量取一个模长很大的元素，其他分量全为0，这个向量显然属于 $B\cap \Pi^{'}{j\in J}V_j$，但它的 $|\cdot|\infty$ 范数肯定大于1，并不在单位球里——这就产生了矛盾，说明两种拓扑并不一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者liyiontheway