多项式在赋范向量空间C¹([0,1]ⁿ)中的稠密性问询

嘿，咱们来拆解这个问题：首先明确$C^1([0 ,1]^{n)$这个赋范向量空间——它的元素是所有从$[0,1]}n$到$\mathbb{R}$的连续可微（$C^1$）函数，范数定义为：
$$|f|=\sup |f| +\sum_{k=1}^n \sup |\partial_k f|$$
现在的核心问题是：多项式在这个空间里是否稠密？

你的思路已经踩中了关键方向——用Stone-Weierstrass定理，我来帮你把这个推导补全并理顺：

首先，对于任意给定的$\epsilon>0$，根据Stone-Weierstrass定理，我们能找到多项式$p_1,p_2,\dots,p_n$，使得对每个$k=1,\dots,n$，都满足：
$$\sup |\partial_k f-p_k|<\frac{\epsilon}{2n}$$
（这里调整$\epsilon$的系数是为了后续凑出刚好小于$\epsilon$的范数差，让证明更严谨）

接下来我们构造目标多项式$P$：

• 先让$P$在原点处的值和$f$一致，即$P(0)=f(0)$
• 定义$P$的偏导数$\partial_k P = p_k$（这一步是可行的，因为多项式的偏导数还是多项式，我们可以通过积分构造出满足这个条件的$P$）

现在来计算$|f-P|$，拆成范数的两个部分来看：

1. 函数值的上确界差：
   根据多变量微积分的基本定理，$f(x)-P(x)$可以表示为各变量方向上的积分和：
   $$f(x)-P(x)=\sum_{k=1}^n \int_0^{x_k} \left(\partial_k f(x_1,\dots,t,\dots,x_n)-p_k(x_1,\dots,t,\dots,x_n)\right)dt$$
   取绝对值后，利用积分的单调性和上确界的定义，可得：
   $$|f(x)-P(x)| \leq \sum_{k=1}^n \int_0^1 \sup|\partial_k f - p_k|dt$$
   代入之前的$\sup|\partial_k f-p_k|<\frac{\epsilon}{2n}$，就能得到：
   $$\sup|f-P| < \sum_{k=1}^n \frac{\epsilon}{2n} = \frac{\epsilon}{2}$$

2. 偏导数的上确界差之和：
   因为$\partial_k P = p_k$，所以直接有：
   $$\sum_{k=1}^n \sup|\partial_k f - \partial_k P| = \sum_{k=1}^n \sup|\partial_k f - p_k| < \sum_{k=1}^n \frac{\epsilon}{2n} = \frac{\epsilon}{2}$$

把这两部分加起来，就得到：
$$|f-P| = \sup|f-P| + \sum_{k=1}^n \sup|\partial_k f - \partial_k P| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

这就意味着，对于任意小的$\epsilon>0$，都存在这样的多项式$P$，使得$f$和$P$的范数差小于$\epsilon$。所以结论是：多项式在$C^1([0,1]n)$中是稠密的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PPP