非负实数约束下P=(a+b)(b+c)(c+a)的最小值求解问询

大家好，我遇到了一个关于非负实数的极值问题，想向社区大佬们求助：

问题：给定非负实数 (a,b,c) 满足约束条件 (ab+bc+ca=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}>0)，求表达式 (P=(a+b)(b+c)(c+a)) 的最小值。

我自己先做了一些尝试，目前已经验证出最小值应该是8，这个值可以在两种情况下取到：

• 当 (a=b=c=1) 时，代入计算可得 (P=(1+1)(1+1)(1+1)=8)
• 当其中一个变量为0，比如 (a=0)，另外两个变量 (b=c=\sqrt[3]{4}) 时，也能算出 (P=(0+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{4}+0)=2\sqrt[3]{4}\times2\sqrt[3]{4}\times\sqrt[3]{4}=8)

另外我推导出来一个不等式，感觉可能对后续证明有用：
$$9(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8(a+b+c)(ab+bc+ca)=8(a+b+c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$$

现在我卡在这里了，接下来需要证明 ((a+b+c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\ge 9) 才能完成整个推导，但我暂时想不到合适的方法来证明这个不等式。希望社区里的朋友们能给我一些思路或者解法，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1205829