关于Crapoβ不变量恒非负性的求证问询

我目前了解到的Crapoβ不变量定义如下：

我从《Combinatorial Geometries》一书的123-124页中，学到的拟阵$M$的Crapoβ不变量定义为：
$$\beta(M) = (-1)^{r(M) - 1} \frac{d}{d \lambda} p(M; 1),$$
它等价于
$$(-1)^{r(M) - 1} \sum_F \mu_M(\emptyset, F)[r(M) - r(F)],$$
进一步可以推导得到
$$\beta(M) = (-1)^{r(M)} \sum_{F\in L} \mu_M(\emptyset, F) r(F).$$

另外，如果我们知道拟阵$M$的特征多项式可以表示为
$$p(M; \lambda) = \sum_{X \subseteq E} (-1)^{|X|} \lambda^{r(M) - r(X)}$$
那么Crapoβ不变量也可以被定义为
$$\beta(M) = (-1)^{r(M)} \sum_{X\subseteq E} (-1)^{|X|} r(X).$$

我一直有个疑问：为什么Crapoβ不变量的值总是大于等于0？

我已经知道它满足以下几条性质：

• $\beta(M) > 0$ 当且仅当 $M$ 是连通拟阵且不是环
• 若 $e \in E$ 既不是环也不是峡，则有 $$ \beta(M) = \beta (M - e) + \beta (M /e)$$
• $\beta (M^*) = \beta (M)$，除非 $M$ 是峡或环

但即便掌握了这些性质，我还是没办法证明它的非负性。有没有人能帮我理清这个问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Intuition