拟阵Crapoβ不变量的删除-收缩等式证明求助

大家好，我目前在证明一个关于拟阵Crapoβ不变量的等式时遇到了瓶颈，想请教一下各位的思路。我要证明的命题是：

如果 $e \in E$ 既不是环也不是割边（峡边），那么
$$ \beta(M) = \beta (M - e) + \beta (M /e). $$

下面是我已经掌握的Crapoβ不变量的相关性质：

• $\beta(M) > 0$ 当且仅当 $M$ 是连通拟阵且不是环。
• $\beta (M^*) = \beta (M)$，除非 $M$ 是割边或者环。
• $\beta \geq 0$。
• 若 $M = M(E)$，$L$ 是 $M$ 的平集格，且当 $M$ 无环时，$\beta(M)$ 仅由 $L$ 决定。
• $\beta(\text{割边}) =1$？（这里我不太确定这个结论是否正确）
• 当 $E=\emptyset$ 或者 $M$ 包含环时，$\beta(M) = 0$。
• 若 $e \in E$ 不是环，则
  $$\beta(M) = (-1)^{r(M) - 1} \sum_{F \in L, e\notin F} \mu_{M}(\emptyset, F).$$
  其中 $F$ 是 $L$ 中的平集。

另外，我从《Combinatorial Geometries》一书的123-124页学到的Crapoβ不变量定义如下：
$$\beta(M) = (-1)^{r(M) - 1} \frac{d}{d \lambda} p(M; 1),$$
它等价于
$$(-1)^{r(M) - 1} \sum_F \mu_M(\emptyset, F)[r(M) - r(F)],$$
进一步可以推导出
$$\beta(M) = (-1)^{r(M)} \sum_{F\in L} \mu_M(\emptyset, F) r(F).$$
同时，如果已知拟阵 $M$ 的特征多项式有如下表达式：
$$p(M; \lambda) = \sum_{X \subseteq E} (-1)^{|X|} \lambda^{r(M) - r(X)},$$
那么β不变量也可以定义为
$$\beta(M) = (-1)^{r(M)} \sum_{X\subseteq E} (-1)^{|X|} r(X).$$

我尝试结合这些性质和定义去推导目标等式，但始终找不到切入点，希望各位能给我一些提示或者证明思路，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Intuition