给定相似度阈值ε=1/1000，非同构有限群高度相似凯莱表的存在性问询
你知道吗？非同构的有限群，它们的乘法（凯莱）表可能长得特别像。举个例子，下面这两个群：
$$
\begin{align*}
\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}&={\overset{a}{0},\overset{b}{1},\overset{c}{2},\overset{d}{3},\overset{e}{4},\overset{f}{5},\overset{g}{6},\overset{h}{7},\overset{i}{8}}\
\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}&={\underset{a}{(0,0)},\underset{b}{(0,1)},\underset{i}{(0,2)},\underset{d}{(1,0)},\underset{e}{(1,1)},\underset{c}{(1,2)},\underset{g}{(2,0)},\underset{h}{(2,1)},\underset{f}{(2,2)}}
\end{align*}
$$
它们的乘法（凯莱）表分别是：
$$
\begin{array}{r|ccccccccc}
\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}&a&b&c&d&e&f&g&h&i\\hline
a&a&b&c&d&e&f&g&h&i\
b&b&c&d&e&f&g&h&i&a\
c&c&d&e&f&g&h&i&a&b\
d&d&e&f&g&h&i&a&b&c\
e&e&f&g&h&i&a&b&c&d\
f&f&g&h&i&a&b&c&d&e\
g&g&h&i&a&b&c&d&e&f\
h&h&i&a&b&c&d&e&f&g\
i&i&a&b&c&d&e&f&g&h\
\end{array}
$$
和
$$
\begin{array}{r|ccccccccc}
\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}&a&b&c&d&e&f&g&h&i\\hline
a&a&b&c&d&e&f&g&h&i\
b&b&\boxed{i}&d&e&\boxed{c}&g&h&\boxed{f}&a\
c&c&d&\boxed{h}&f&g&\boxed{b}&i&a&\boxed{e}\
d&d&e&f&g&h&i&a&b&c\
e&e&\boxed{c}&g&h&\boxed{f}&a&b&\boxed{i}&d\
f&f&g&\boxed{b}&i&a&\boxed{e}&c&d&\boxed{h}\
g&g&h&i&a&b&c&d&e&f\
h&h&\boxed{f}&a&b&\boxed{i}&d&e&\boxed{c}&g\
i&i&a&\boxed{e}&c&d&\boxed{h}&f&g&\boxed{b}\
\end{array}
$$
（注意表格里带方框的元素就是两个表不同的地方）。这两个表中不同元素的比例是$\frac{18}{9\times 9}=\frac{2}{9}\approx 22.2%$。
先明确一下定义：给定一个有限群$G={g_1,\ldots,g_n}$，并固定好它的元素排列顺序，我们把它的乘法表定义为唯一的矩阵$M_G\in{1,\ldots,n}^{n\times n}$，满足对所有$i,j\le n$，如果$k=(M_G)_{ij}$，那么就有$g_i\cdot g_j=g_k$。
问题
给定$\varepsilon=\frac{1}{1000}$，是否存在两个有限群$G={g_1,\ldots,g_n},H={h_1,\ldots,h_n}$，它们的乘法表分别为$M_G,M_H$，使得除了至多$\varepsilon n2$个有序对$(i,j)\in{1,\ldots,n}2$之外，其余所有位置的元素都满足$(M_G){ij}=(M_H){ij}$，并且$G$和$H$不同构？
感谢你的帮助！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Edward H
