关于“孪生二项式系数猜想”真实性的技术问询

最近我在把玩帕斯卡三角时，试着估算前n行数字的中位数，结果发现了一个奇怪的缺口：排除掉形如$\binom{n}{1}$和$\binom{n}{n-1}$的二项式系数后，我找不到任何一对差值为2的二项式系数。我已经检查了帕斯卡三角的前120行，都没发现符合条件的例子，因此我提出了这个姑且称之为「孪生二项式系数猜想」的假设：

排除形如$\binom{n}{1}$和$\binom{n}{n-1}$的二项式系数后，不存在差值为2的二项式系数。

为了做个对比，先给大家列一些已经找到的、差值为其他数字的二项式系数对：

• 差值为1的例子：$\binom{7}{2}-\binom{6}{3}=21-20=1$
• 差值为3的例子：$\binom{31}{2}-\binom{11}{5}=465-462=3$
• 差值为4的例子：$\binom{5}{2}-\binom{4}{2}=10-6=4$
• 差值为5的例子：$\binom{6}{2}-\binom{5}{2}=15-10=5$
• 差值为6的例子：$\binom{9}{3}-\binom{13}{2}=84-78=6$
  ……

想请教各位大佬，这个猜想到底是对的还是错的？有没有人能找到反例，或者从理论层面证明它的正确性？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dan