反函数求导证明中代数变形步骤的技术问询

嘿，我来帮你拆解这个反函数求导证明里的关键变形步骤，其实核心就是反函数的定义和作者设定的$k(h)$在起作用，一步步来看：

首先回顾作者给出的$k(h)$的定义：
$$k(h) = g(f(x) + h) - g(f(x))$$
从这个式子我们可以先做一个简单变形，把$g(f(x)+h)$表示出来：
$$g(f(x) + h) = g(f(x)) + k(h)$$

接下来利用反函数的核心性质：因为$g = f^{-1}$（g是f的反函数），所以对于任意$y$，都有$f(g(y)) = y$；同时，对于原函数的自变量$x$，有$g(f(x)) = x$（这是反函数的互逆性）。

现在对上面变形后的式子两边同时作用f函数：

• 左边：$f\left(g(f(x)+h)\right) = f(x) + h$（这里直接套用$f(g(y))=y$，令$y=f(x)+h$）
• 右边：$f\left(g(f(x)) + k(h)\right) = f\left(x + k(h)\right)$（因为$g(f(x))=x$，直接替换即可）

把左右两边联立起来，我们就能得到$h$的表达式：
$$h = f(x + k(h)) - f(x)$$

现在回到原极限的分式：

• 分子：$g(f(x)+h) - g(f(x))$，根据$k(h)$的定义，这直接就是$k(h)$
• 分母：$h$，我们刚刚推导出它等于$f(x + k(h)) - f(x)$

把分子分母替换进去，自然就得到了：
$$\lim_{h\to 0} \frac{g(f(x) + h) - g(f(x))}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{k(h)}{f(x+k(h))-f(x)}$$

另外补充一句：当$h\to0$时，因为$g$是连续函数（反函数在原函数可导且导数非零时具备连续性），所以$g(f(x)+h)\to g(f(x))$，也就是$k(h)\to0$，这也是后面能把极限变量换成$k\to0$的原因~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者volticus