关于Hatcher书中S^1 ∨ S^1第6项覆盖空间Fundamental group计算的疑问

嘿，我完全懂你的困惑！当初我第一次啃Hatcher的这个表时，也对着第6项卡了好几个小时，总觉得Van Kampen定理好像无从下手。其实关键是要先把这个覆盖空间的结构摸清楚，再找对拆分方式：

首先，先明确第6项对应的覆盖空间是个连通的无限图——毕竟S¹∨S¹是一维CW复形，它的覆盖空间也只能是一维的图。这个图的每个顶点都连有4条边：两条对应原空间里a圈的提升，两条对应b圈的提升。直观来说，从任意顶点出发，沿a方向走两步会落到一个“平行”的顶点，沿b方向走两步也是如此；而走a→b→a→b⁻¹的路径会形成一个闭合的环。

接下来就可以用Van Kampen定理了，我给你一个具体的拆分思路：

• 取这个覆盖空间$\widetilde{X}$，先去掉一条对应$abab^{{-1}$的环边，得到开集$U$。$U$是个连通的无限“梯子”状图，它的基本群是秩为2的自由群，生成元就是对应$a}2$和$b^2$的两个环。
• 再取开集$V$：刚才去掉的那条环边的一个小开邻域，它同胚于开区间，所以基本群$\pi_1(V)$是平凡的。
• $U$和$V$的交集是两个不相交的开区间，基本群也是平凡的。根据Van Kampen定理，$\pi_1(\widetilde{X}) \cong \pi_1(U) * \pi_1(V) / \langle \pi_1(U \cap V)的像 \rangle$——说白了就是在$\pi_1(U)$的基础上加上一个新的生成元（对应那条环边），而且没有额外的关系，所以$\pi_1(\widetilde{X})$是秩为3的自由群。

如果你再对应到原空间的基本群$F(a,b)$，这个自由群正好就是子群$\langle a^2, b^2, abab^{-1} \rangle$，完全符合Hatcher表中的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者John Do