利用Hom-⊗伴随性与给定正合性等价条件证明函子−⊗_R L的右正合性

没问题，我来一步步帮你梳理这个证明——其实核心就是用给定的Hom函子正合性条件，再借助Hom和⊗的伴随关系，把张量函子的正合性问题转化成我们已经熟悉的Hom函子问题。

第一步：明确目标 #

我们要证明的是：函子$-\otimes_R L$是右正合的，也就是对任意R-模的正合序列
$$M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0$$
诱导的张量序列
$$M' \otimes_R L \xrightarrow{f\otimes \text{id}_L} M \otimes_R L \xrightarrow{g\otimes \text{id}_L} M'' \otimes_R L \to 0$$
也必须是正合的。

第二步：用给定条件（*）转化问题 #

回忆你已经证明的条件（*）：

一个R-模序列$A \to B \to C \to 0$是正合的，当且仅当对任意R-模N，诱导的Hom序列
$$0 \to \text{Hom}_R(C, N) \to \text{Hom}_R(B, N) \to \text{Hom}_R(A, N)$$
是正合的。

根据这个条件，我们的目标（张量序列正合）等价于：对任意R-模N，下面的Hom序列是正合的：
$$0 \to \text{Hom}_R(M'' \otimes_R L, N) \to \text{Hom}_R(M \otimes_R L, N) \to \text{Hom}_R(M' \otimes_R L, N)$$

第三步：借助Hom-⊗伴随性搭桥 #

因为R是交换环，Hom-⊗伴随性告诉我们：对任意R-模X和N，存在自然同构（这个“自然”是关键，它能保持序列的正合性）：
$$\text{Hom}_R(X \otimes_R L, N) \cong \text{Hom}_R(X, \text{Hom}_R(L, N))$$
这个同构是自然的，意味着它和模同态的复合可交换，所以会把上面的Hom序列（关于张量的）对应到下面这个Hom序列：
$$0 \to \text{Hom}_R(M'', \text{Hom}_R(L, N)) \to \text{Hom}_R(M, \text{Hom}_R(L, N)) \to \text{Hom}_R(M', \text{Hom}_R(L, N))$$

第四步：利用原序列的正合性 #

我们一开始就知道原序列$M' \to M \to M'' \to 0$是正合的，现在把$\text{Hom}_R(L, N)$当成条件（）里的“任意R-模N”，直接套用条件（）就能得出：上面这个新的Hom序列必然是正合的。

第五步：回推得到张量序列的正合性 #

因为伴随同构是自然的双射，它会把正合序列映为正合序列（反过来也成立），所以我们之前那个关于张量的Hom序列也一定是正合的。

最后再一次套用条件（*），就能推出我们的目标张量序列$M' \otimes_R L \to M \otimes_R L \to M'' \otimes_R L \to 0$是正合的。

这样就完成了证明，核心就是用伴随性把张量的问题转化为Hom的问题，再用已知的正合性条件来推导～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者some_math_guy