关于Banach空间中伴随算子为同构时原算子也为同构的证明请求审阅

大家好，我花了好一阵子试着证明下面这个Banach空间算子的命题，但心里没底，不确定证明过程有没有漏洞，想请各位帮忙审阅一下～

命题：设$T:X\rightarrow Y$是Banach空间之间的连续线性算子，$T^\prime: Y^\prime \rightarrow X^{\prime$是它的伴随算子。证明若$T}\prime$是同构，则$T$也是同构。

我的证明尝试： #

1. 因为$T^\prime: Y^\prime \rightarrow X^{\prime$是同构，所以它的二次伴随算子$(T}\prime)^\prime: (X^\prime)\prime \rightarrow (Y^\prime)\prime$也必然是同构——毕竟可逆算子的伴随算子可逆，且伴随的复合对应复合的伴随，二次伴随自然也保持同构性。

2. 考虑从$X$到其二次对偶空间$(X^\prime)\prime$的典则嵌入$J_X$，定义为$J_X(x) = ev_x$，其中$ev_x(\alpha) = \alpha(x)$（$\alpha \in X^{\prime$）。由于$X$是Banach空间，$J_X$是等距嵌入，且它的值域$R(J_X)$是$(X}\prime)^{\prime$中的闭子空间；同理，$Y$到$(Y}\prime)^\prime$的典则嵌入$J_Y$也满足$R(J_Y)$是闭的。

3. 考察$(T^\prime)\prime$在$R(J_X)$上的限制$g = (T^\prime)\prime|{R(J_X)}$，对任意$ev_x \in R(J_X)$、$\alpha \in Y^\prime$，我们计算：
   $$
   g(ev_x)(\alpha) = (T^\prime)\prime(ev_x)(\alpha) = ev_x(T^\prime(\alpha)) = T^\prime(\alpha)(x) = \alpha(T(x)) = ev{T(x)}(\alpha)
   $$
   由此可得$g(ev_x) = ev_{T(x)}$，这说明$g(R(J_X)) \subset R(J_Y)$。

4. 基于上述结论，映射$f = J_Y^{-1} \circ (T^\prime)\prime \circ J_X$是良定义的——因为$g$把$R(J_X)$映射到$J_Y$的值域里，而$J_Y$在其闭值域上可逆。并且通过上面的计算可以直接得到$f(x) = T(x)$，也就是$f=T$。

5. 接下来分析$T$的值域：$R(T) = J_Y^{{-1}(g(R(J_X)))$。由于$J_Y$是从$Y$到$R(J_Y)$的同构，$g$是从$R(J_X)$到$g(R(J_X))$的同构（因为$(T}\prime)^\prime$是全局同构，限制到闭子空间上依然是同构到其像），所以$R(T)$是$Y$中的闭子空间。

6. 因为$T^{\prime$是同构，所以它是单射，即零空间$N(T}\prime) = {0}$。根据闭值域定理，$R(T) = (N(T^\prime))\perp$，而${0}$的零化子就是整个$Y$，因此$R(T)=Y$，即$T$是满射。

7. 再看单射性：$T$可以表示为$J_Y^{-1} \circ (T^\prime)\prime \circ J_X$，其中$J_X$是等距单射，$(T^\prime)\prime$是同构（自然单射），$J_Y^{-1}$在$R(J_Y)$上是单射，三者复合后$T$必然是单射。

8. 现在$T$是Banach空间$X$到$Y$的双射连续线性算子，根据逆算子定理，$T^{-1}$是连续的，因此$T$是同构。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者soph6626