连续均匀随机变量驱动的随机序列的迭代期望问题求解与验证

问题描述 #

设随机变量 $X$ 在单位区间 $[0,1]$ 上服从均匀分布，定义随机序列 $Y_n$ 如下：
$$
Y_n=
\begin{cases}
0, & \text{if}:X \geq \dfrac{1}{n} \\
n, & \text{if}:X < \dfrac{1}{n}
\end{cases}
$$

需要完成两个任务：

• a) 证明序列 $Y_n$ 收敛到 $0$
• b) 证明 $E[Y_n]=\dfrac{1}{2}$

我的求解尝试 #

a) 序列收敛性证明 #

我最先想到用依概率收敛的概念来推导，不过先从直观角度分析更易懂：
因为 $X \sim \text{Uni}[0,1]$，可以直接计算对应概率：

• $P(X<\frac{1}{n})=\frac{1}{n}$
• $P(X \geq \frac{1}{n})=1-\frac{1}{n}$

当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n}$ 趋近于0，此时：

• $P(Y_n = 0) = 1 - \frac{1}{n} \to 1$
• $P(Y_n = n) = \frac{1}{n} \to 0$

这就说明 $Y_n$ 依概率收敛到0（甚至可以说是几乎必然收敛）。

b) 期望计算与结论修正 #

我一开始用迭代期望的思路计算：
$$
\begin{align*}
E[Y_n] &= E[E[Y_n|X]] \
&=P(X<\frac{1}{n})E[Y_n|X<\frac{1}{n}]+P(X\geq\frac{1}{n})\underbrace{E[Y_n|X\geq\frac{1}{n}]}_{0}\
&=\frac{1}{n}nP(Y_n|X<\frac{1}{n})+0\
&=\frac{1}{n}n\dfrac{P({Y_n=n} \cap {X<\frac{1}{n}})}{P(X<\frac{1}{n})}\
&=\frac{1}{n}n\dfrac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\
&=\frac{1}{n}n\cdot 1\
&=1
\end{align*}
$$

算出来的结果是1，和题目要求证明的$\frac{1}{2}$不符。之后我联系了这本书的作者，对方确认这是书中的错误，正确结果确实是1；同时也要感谢网友Dominik Kutek的评论提醒，帮我验证了这个结论的正确性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Raja Ali Riaz