基于条件分布与指数分布的随机变量分布及协方差求解（非变量替换/积分方法）

嘿，这个问题的核心就是利用条件分布的“不变性”技巧，完全不用硬算积分或者变量替换就能轻松解决！咱们分两部分来拆解：

一、求$Z = \frac{X}{Y^2}$的密度函数$f_Z(z)$ #

这里的关键观察是条件分布与Y的独立性：

• 已知给定$Y=y$时，$X \sim U[0,y^2]$，那么对任意固定的$y>0$，$Z = \frac{X}{y^{2}$相当于把$X$做了线性缩放（缩放因子是$1/y}2$）。
• 对于均匀分布$U[a,b]$，将其标准化为$\frac{U-a}{b-a}$后，结果服从$U[0,1]$。这里$a=0$，$b=y^{2$，所以$\frac{X-0}{y}2-0} = Z$在给定$Y=y$时，服从$U[0,1]$。
• 最关键的一点：这个条件分布$Z|Y=y \sim U[0,1]$完全不依赖于$y$的取值！这意味着$Z$的边缘分布就等于它的条件分布，也就是$Z \sim U[0,1]$。
• 所以$Z$的密度函数就是：
  $$
  f_Z(z) =
  \begin{cases}
  1, & 0 \leq z \leq 1 \
  0, & \text{其他}
  \end{cases}
  $$

二、计算$Cov\left(\frac{X}{Y^2}, Y\right)$ #

你已经迈出了关键的第一步，咱们把剩下的步骤补全，全程用条件期望技巧：

1. 先计算$E\left(\frac{X}{Y^2}\right)$：
   $$
   E\left(\frac{X}{Y^2}\right) = E\left[ E\left( \frac{X}{Y^2} \mid Y \right) \right] = E\left( \frac{1}{Y^2} E(X \mid Y) \right)
   $$
   因为$E(X \mid Y=y) = \frac{y^2}{2}$，代入后化简得到：
   $$
   E\left( \frac{1}{Y^2} \cdot \frac{Y^2}{2} \right) = E\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}
   $$
2. 已知$Y \sim exp(1/2)$，指数分布$exp(\lambda)$的期望是$\frac{1}{\lambda}$，所以$E(Y) = \frac{1}{1/2} = 2$。
3. 你已经算出$E\left(\frac{X}{Y}\right) = 1$，现在代入协方差公式：
   $$
   Cov\left(\frac{X}{Y^2}, Y\right) = E\left(\frac{X}{Y}\right) - E\left(\frac{X}{Y^2}\right)E(Y) = 1 - \frac{1}{2} \times 2 = 0
   $$
   另外，从第一部分的结论也能直接得到这个结果：因为$Z$和$Y$独立（$Z$的条件分布不依赖$Y$），独立随机变量的协方差必然为0，这也验证了计算的正确性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rahid Fayad