从Hom函子正合性推导投射模提升性质的证明问询

嗨，我来帮你把这个证明的逻辑理清楚，其实核心就是把你手里的Hom函子正合条件和提升性质的需求对应起来，步骤很清晰：

首先，先明确我们要证明的提升性质对应的场景：

给定任意满同态 ( g: N' \to N'' )，以及任意同态 ( h: P \to N'' )，存在同态 ( \tilde{h}: P \to N' ) 使得 ( g \circ \tilde{h} = h )。

接下来咱们利用短正合序列和Hom函子的正合性来推导：

1. 构造满同态 ( g ) 对应的短正合序列：令 ( K = \ker g )，记包含同态 ( i: K \to N' )，那么我们得到短正合序列：
   $$0 \to K \xrightarrow{i} N' \xrightarrow{g} N'' \to 0$$
2. 根据你给出的投射模定义——( \text{Hom}_R(P, -) ) 是正合函子，将这个函子作用到上面的短正合序列上，得到的Abel群序列也是短正合的：
   $$0 \to \text{Hom}R(P, K) \xrightarrow{i} \text{Hom}R(P, N') \xrightarrow{g} \text{Hom}R(P, N'') \to 0$$
   这里的 ( g* ) 是诱导同态，它的定义是：对任意 ( f \in \text{Hom}R(P, N') )，( g*(f) = g \circ f )。
3. 短正合序列的最后一个映射是满同态，也就是说 ( g_: \text{Hom}_R(P, N') \to \text{Hom}_R(P, N'') ) 是满的。而你的 ( h ) 正好是 ( \text{Hom}_R(P, N'') ) 中的一个元素，根据满同态的定义，必然存在某个 ( \tilde{h} \in \text{Hom}R(P, N') )，使得 ( g(\tilde{h}) = h )。
4. 把 ( g_* ) 的定义代入进去，就得到 ( g \circ \tilde{h} = h )——这正是我们要证明的提升性质！

是不是一下子就通了？其实就是把提升性质里的满同态包装成短正合序列，再用Hom函子正合带来的诱导映射满性，直接得到我们需要的提升同态。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者darkside