关于连通光滑流形到实数集的双射光滑函数存在性及流形间双射光滑映射维数关系的咨询

嗨，我来帮你拆解这两个问题，核心都用到了光滑流形的局部线性性质，咱们一步步说：

问题一：为什么不存在$\dim M \geq 2$的连通光滑流形$M$到$\mathbb{R}$的双射光滑函数？ #

假设真的存在这样一个双射光滑函数$f: M \to \mathbb{R}$，咱们来推导矛盾：

• 首先，$M$是连通的，而光滑函数必然连续，所以$f(M)$是$\mathbb{R}$的连通子集——也就是某个区间。又因为$f$是双射（满射），所以$f(M)$只能是整个$\mathbb{R}$。
• 任取$M$上一点$p$，考虑$f$在$p$处的微分$df_p: T_pM \to T_{f(p)}\mathbb{R} \cong \mathbb{R}$。因为$\dim M \geq 2$，$T_pM$是一个维数≥2的向量空间，而$df_p$是从高维空间到一维空间的线性映射，它的核（零空间）一定是非平凡的（根据秩-零度定理，线性映射的秩最多是1，核的维数≥2-1=1）。
• 根据隐函数定理，在$p$的某个邻域$U$里，$f$的水平集$f^{-1}(f(p)) \cap U$是一个维数为$\dim M - 1 \geq 1$的光滑子流形——也就是说，在$U$里有不止一个点被$f$映射到$f(p)$，这直接和$f$是单射矛盾！

所以这样的双射光滑函数根本不存在~

问题二：存在双射光滑映射$M \to N$是否意味着$\dim M = \dim N$？ #

答案是肯定的，咱们从两个角度解释：

• 从微分映射角度：
  • 若$\dim M > \dim N$：取任意$p \in M$，微分$df_p$是高维到低维的线性映射，核非平凡，和问题一同理，会推出$f$在局部不是单射，矛盾。
  • 若$\dim M < \dim N$：$df_p$的像空间维数最多是$\dim M < \dim N$，根据秩定理，$f$在$p$附近的像只是$N$中一个维数≤$\dim M$的子流形，不可能覆盖$N$的任何开邻域，和$f$是满射矛盾。
• 从拓扑角度：域不变性定理告诉我们，若存在拓扑流形$M$到$N$的连续双射，则$\dim M = \dim N$。而光滑映射本身就是连续的，所以光滑双射自然也满足这个结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Quzs