关于Baby Rudin定理4.30的疑问：为何能为每个间断点关联不同的有理数值r(x)

我最近在读Baby Rudin，对定理4.30的证明有些地方搞不懂，先把定理和原文证明贴出来：

4.30 Theorem Let $f$ be monotonic on $(a, b)$. Then the set of points of $(a, b)$ at which $f$ is discontinuous is at most countable.

Proof Suppose, for the sake of definiteness, that $f$ is increasing, and let $E$ be the set of points at which $f$ is discontinuous.

With every point $x$ of $E$ we associate a rational number $r(x)$ such that
$$f(x-) < r(x) <f(x+).$$
Since $x_1 < x_2$ implies $f(x_1 +) \leq f(x_2 - )$, we see that $r(x_1) \ne r(x_2 )$ if $x_1\ne x_2$ We have thus established a 1-1 correspondence between the set $E$ and a subset of the set of rational numbers. The latter, as we know, is countable.

我最大的疑问是：为什么能给每个间断点$x$都关联一个不同的有理数$r(x)$？

我自己对这个定理的理解是这样的：任何由正实数组成的不可数集合$S$，其元素的和$\sum\limits_{s\in S}s$都会发散到无穷大；而对于单调递增函数的间断点集合$E$，所有间断点的跳跃值之和$\sum\limits_{x \in E}f(x+) - f(x-) <f(b-)- f(a+)$，是个有限值，所以$E$不可能是不可数的。但这个思路在Rudin的证明里完全没用到。

我甚至在想，如果真的存在一个由正实数组成的不可数集合$S$，它的元素和是收敛的，那是不是就能构造出一个有不可数个间断点的单调函数？那这样的话，Rudin证明里那种给每个间断点分配不同$r(x)$的操作就不可能实现了。当然这个例子只是我疑问的一部分，不是严格的证明。

让我困惑的地方在于：Rudin的证明完全没提到“不可数正实数集合的和必发散”这个结论，那是不是说他的证明不需要依赖这个结论就能成立？但如果真的存在那种有不可数个间断点的单调函数，那他的证明就站不住脚了啊。除非他的证明本身其实隐含了“不可数正实数集合的和必发散”这个事实？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pie