概率测度能量$E(f_c)$当$c\rightarrow1$时的极限计算求助

大家好，我现在卡在一个概率测度相关的能量极限计算问题上，希望能得到各位的帮助。具体问题如下：

对于$c\in(0,1)$，考虑概率密度：
$$f_c := \frac{1-c^2}{1+c2-2c\cos(2\pi x)}.$$

我的目标是计算当$c\rightarrow1$时，以下能量的极限：
$$E(f_c) := \int_{-\frac12}^{\frac12}\log(f_c)f_c dx - \pi|f_c|{\dot{H}^{-\frac12}}2,$$
其中$\dot{H}^{-\frac12}$表示指标为$-\frac12$的齐次Sobolev范数。这个范数也可以写成：
$$\pi|f_c|{\dot{H}^{-\frac12}}2 = -\int_{-\frac12}^{{\frac12}\int_{-\frac12}}{\frac12}\log|\sin(\pi x)|f_c(x)f_c(y)dxdy + \int_{-\frac12}^{\frac12}\log|\sin(\pi y)|dy.$$

从变分的角度，我已经知道$E(f_c)>0$。

已完成的推导步骤 #

• 我知道对于$k\ge1$，$f_c$的第$k$个傅里叶系数$\hat{f}c(k)=c$，由此可以推导出：
  $$\pi|f_c|{\dot{H}^{-\frac12}}2 = 2\pi\sum_{k=1}^\infty \frac{c^{2k}}{2\pi k} = -\log(1-c^2), \tag{1}$$
  这里我用到了$\log(1+z)$的幂级数展开得到最终等式。

• 代入$f_c$的定义，并且利用$\int_{-\frac12}^{\frac12}f_c=1$的性质，我计算出：
  $$\int_{-\frac12}^{\frac12}\log(f_c)f_cdx = \log(1-c^2) - (1-c^{2)\int_{-\frac12}}{\frac12}\frac{\log\Big(1+c^2-2c\cos(2\pi x)\Big)}{1+c^2-2c\cos(2\pi x)}dx. \tag{2}$$

• 将(1)和(2)代入$E(f_c)$的表达式，得到简化后的形式：
  $$E(f_c) = 2\log(1-c^2) - (1-c^{2)\int_{-\frac12}}{\frac12}\frac{\log\Big(1+c^2-2c\cos(2\pi x)\Big)}{1+c^2-2c\cos(2\pi x)}dx. $$

卡住的地方 #

我尝试对分母做如下拆分：
$$1+c^2-2c\cos(2\pi x) = (1-c)^2 + 2c[1-\cos(2\pi x)]$$
然后提出$(1-c)^2$因子，得到：
\begin{multline}
(1-c^{2)\int_{-\frac12}}{\frac12}\frac{\log\Big(1+c^2-2c\cos(2\pi x)\Big)}{1+c^2-2c\cos(2\pi x)}dx = 2\log(1-c) \

• (1-c^{2)\int_{-\frac12}}{\frac12}\frac{\log\Big(1+\frac{2c[1-\cos(2\pi x)]}{(1-c)^2}\Big)}{1+c2-2c\cos(2\pi x)}dx.
  \end{multline}

第一个项$2\log(1-c)$可以和前面的$2\log(1-c^2)$合并，但第二个积分项我完全不知道该怎么处理。我猜测或许可以在$|x|\lesssim 1-c$的区域对$1-\cos(2\pi x)$做泰勒展开，但不确定具体该怎么操作才能得到收敛的结果或者化简出极限。

希望有大佬能给我一些思路或者提示，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nik Quine