含标准正态累积分布函数的有限上限积分求解咨询

大家好，我已经搞懂了这个无限上限积分的计算：

$$
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \Phi(a x+b) \exp \left(-\frac{x^2}{2}\right) d x=\Phi\left(\frac{b}{\sqrt{1+a^2}}\right)
$$

但在求解下面这个有限上限积分的时候，我卡壳了：

$$
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^c \Phi(a x+b) \exp \left(-\frac{x^2}{2}\right) d x=\Phi_2\left(\frac{b}{\sqrt{1+a^2}}, c ;-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\right)
$$

这里的 $\Phi_2\left(\cdot, \cdot ;\rho \right)$ 是相关系数为 $\rho$ 的二元正态累积分布函数。

有没有大佬能帮我捋清楚这个结果的推导过程，或者给我一些解题的方向呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Samad