关于ℝⁿ中集合凝聚点的拓扑问题及Cantor-Bendixon定理相关证明的问询

最近在啃Apostol《数学分析》第67页的3.24题，这道题围绕ℝⁿ里的不可数集合和它的凝聚点展开，算是Cantor-Bendixon定理的前置铺垫题，题目具体是这样的：

假设$S\subset \mathbb{R}^n$且$S$不可数，令$T$表示$S$的凝聚点集合（定义：一个点$x$是$S$的凝聚点，当且仅当$x$的任意$n$维邻球$B(x)$都满足$B(x)\cap S$不可数）。需要证明四个结论：

• $S-T$是可数的；
• $S\cap T$是不可数的；
• $T$是闭集；
• $T$不含孤立点。

我目前对第2问的一个证明思路印象很深，它简洁到惊艳：

因为$S=(S\cap T)\cup(S-T)$，如果我们假设$S\cap T$是可数的，再结合已经知道的结论“$S-T$是可数的”，那么两个可数集的并集必然也是可数的——这就和题设里$S$不可数的前提矛盾了，所以$S\cap T$肯定是不可数的。

不过我一直有点好奇，有没有更“自然”的直接证明方式？就是不用反证法，直接通过构造或者推导就能得出$S\cap T$不可数的那种方法？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zarol