使用numpy.eigh做特征分解后重构矩阵与原矩阵不符的问题咨询

嘿，我一眼就瞅出问题所在啦——你用错了特征分解的函数！

为什么结果不符？ #

你使用的numpy.linalg.eigh是专门为**对称矩阵（或埃尔米特矩阵）**设计的特征分解工具。这类矩阵的特征向量是正交的，所以eigh返回的特征向量矩阵满足Qᵀ = Q⁻¹，它会默认按对称矩阵的逻辑处理输入。但你的原矩阵：

np.array([ [1, 3], [2, 5] ])

并不是对称矩阵（矩阵的(0,1)元素是3，(1,0)元素是2，二者不相等），用eigh处理非对称矩阵，得到的特征向量和特征值自然不符合一般矩阵的特征分解定理A = QΛQ⁻¹。

修正方案 #

对于任意方阵的特征分解，你应该使用numpy.linalg.eig函数，它能正确返回一般矩阵的特征值和特征向量，满足A = QΛQ⁻¹的关系。

修正后的代码如下：

import numpy as np
from numpy import linalg as lg

# 原矩阵
A = np.array([ [1, 3], [2, 5] ])
# 使用eig进行特征分解
Eigenvalues, Eigenvectors = lg.eig(A)
Lambda = np.diag(Eigenvalues)
# 重构矩阵
reconstructed_A = Eigenvectors @ Lambda @ lg.inv(Eigenvectors)

print(reconstructed_A)

运行后会输出：

array([[1., 3.],
       [2., 5.]])

这个结果就和原矩阵完全一致啦！

另外补充一点：如果你的矩阵是对称的，用eigh会更高效且数值稳定性更好，因为它利用了对称矩阵的特性；但非对称矩阵一定要用eig哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user8270077