球对称向量场散度的推导验证请求

大家好，我推导了球对称向量场散度的表达式，现在想请大家帮忙验证推导是否正确，或者给我一些反馈。先把问题背景说明一下：

若一个向量场关于原点球对称，则在所有以原点为球心的球面上，它的大小恒定，且方向要么始终背离原点，要么始终指向原点。这类向量场可以用球坐标表示为 $F = f(\rho)e_\rho$，其中 $f$ 是到原点距离 $\rho$ 的函数，满足 $f(0)=0$，$e_\rho$ 是背离原点的单位向量。

需要证明：$\operatorname{div} F = \frac 1 {\rho^2} \frac{d(\rho^2f(\rho))}{d \rho} \quad (\rho \neq 0)$

注：用球坐标系下的散度公式直接求解这道题很简单，但书中还没教这个公式——这道题的核心目的其实是让我们推导球坐标系散度公式的相关部分，而不是直接套用现成结论。

下面是我的推导过程：

首先考虑x轴上的点 $v_0$：
$$\begin{align*}v_0 &= \langle \rho_0, 0, 0 \rangle\
f_0 &= f(\rho_0)\
F(v_0) &= \frac {f_0}{\rho_0}v_0.\end{align*}$$

沿x方向移动一小步 $\partial x$，此时点的方向不变，仅$\rho$增大：
$$\begin{align*}
v_1 &= \langle \rho_0 + \partial x, 0, 0 \rangle \
f_1 &= f(\rho_0 + \partial x) \
F(v_1) &= \frac {f_1}{\rho_0 + \partial x}v_1 \
\frac{\partial F_x}{\partial x} &= \frac{\partial f}{\partial \rho}.
\end{align*}$$

接下来换个方向，从 $v_0$ 沿y方向移动一小步 $\partial y$，得到点 $v_2 = \langle \rho_0, \partial y, 0 \rangle$。由于这个位移和 $v_0$ 正交，所以$\rho_2 = \rho_0 + \mathcal{O}([\partial y]^2)$，一阶近似下 $f_2 \approx f_0$，因此：
$$F(v_2) \approx \frac {f_0}{\rho_2}v_2$$
取极限后可得：
$$\frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac f \rho.$$

根据对称性，$\frac{\partial F_z}{\partial z} = \frac f \rho$，因此散度为：
$$\begin{align*}
\operatorname{div} F &= \frac{\partial f}{\partial \rho} + 2\frac f \rho \
&= \frac 1 {\rho^2} \frac{d(\rho^2f(\rho))}{d \rho}
\end{align*}$$

这个推导对x轴上的非原点成立，再利用球对称性，空间中任意非原点的点都满足这个结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SRobertJames