关于满足特定幂级数条件的非负实值序列对应整函数g(z)及g(n)增长速度的技术问询

我正在寻找满足以下条件的函数 $g(z)$：

$$g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g(n)}{(n+1)!} z^n = g(0) + \frac{g(1)}{2} z + \frac{g(2)}{6} z^2 + \frac{g(3)}{24} z^3 + \dots$$

其中所有的 $g(n)$ 都是非负实数，即 $0 \leq g(n)$。我想知道序列 $g(n)$ 的增长速度有多快。

这个问题的灵感来源于另一个类似的问题：

$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} f(n)^2 z^n$?

不过那个问题的表现不太好（可以参考原问题的编辑内容和评论区），所以我做了这个变体。我不确定这个变体是否能得到“良好表现”的结果，只是出于好奇来提问。这里我所说的“良好表现”或者“性质优良”指的是 $g(z)$ 是一个整函数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mick