关于Libkin《有限模型论基础》中Gaifman图邻域同构限制的证明疑问（引理4.8/习题4.4）

嘿，最近在啃Libkin的《有限模型论基础》，碰到引理4.8（也就是习题4.4）的证明卡壳了，来跟大家唠唠我的问题：

这是Libkin《有限模型论基础》中的引理4.8（习题4.4）：
假设 $h\colon N_r(\overline{a}) \rightarrow N_r(\overline{b})$ 是结构 $A$、$B$ 中分别由元组 $\overline{a}$、$\overline{b}$ 诱导的r距离Gaifman图邻域之间的同构。需要证明：当 $d\leq r$ 时，$h$ 在 $N_d(\overline{a})$ 上的限制是 $N_d(\overline{a}) \rightarrow N_d(\overline{b})$ 的同构。

我自己梳理了一下思路：要证这个结论，核心就是要证明——对于任何距离 $\overline{a}$ 为 $m$（$m\leq d$）的元素 $x$，$h(x)$ 距离 $\overline{b}$ 也恰好是 $m$。

• 当 $m=0$ 时完全没问题：距离0意味着 $x$ 是 $\overline{a}$ 的某个分量，而 $h$ 本身就是把 $\overline{a}$ 映射到 $\overline{b}$ 的，这直接就满足条件了。

但到了其他 $m$ 值，我就卡住了，比如先看最简单的 $m=1$ 的情况：
假设 $x$ 距离 $\overline{a}$ 为1，那必然存在某个 $a_i$ 使得 $d(a_i, x)=1$，也就是存在一个包含 $a_i$ 和 $x$ 的元组 $\overline{t}$，使得 $R^A(\overline{t})$ 成立。如果 $\overline{t}$ 的所有分量都在 $N_r(\overline{a})$ 里，那根据同构的性质，$R^B(h(\overline{t}))$ 也成立，这样就能推出 $b_i$（也就是 $h(a_i)$）和 $h(x)$ 之间有边，也就是距离1。但问题来了，我没办法保证 $\overline{t}$ 的所有分量都在 $\overline{a}$ 的r邻域里，试着用量化的思路去推导也没找到突破口...

有没有大佬能指点一下这步该怎么推进呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者emesupap