某点处的连续性与代数变形后的连续性

哈哈，这个问题问得特别好，刚好戳中了函数定义里很容易混淆的点——咱们一步步拆解开说：

首先，你做的这个操作有个专门的名字，叫做连续延拓（continuous extension），先给你把核心结论摆出来：

• 变形后的函数和原函数不是同一个函数，但它是原函数的一个「延拓」——也就是把原函数的定义域扩大了，并且在原函数有定义的所有点上，和原函数的取值完全一致。
• 你通过共轭相乘的操作，本质是找到了原函数在x=0处的极限值，然后把这个极限值定义为新函数在x=0处的取值，从而让新函数在x=0处连续。

咱们再仔细抠细节：

1. 先明确「函数相等」的严格定义 #

两个函数要相等，必须满足两个条件：

• 它们的定义域完全相同
• 在定义域的每一个点上，函数值都相等

原函数$f(x) = \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}$的定义域是$[-1,1] \setminus {0}$——因为x=0时分母为0，无意义；而你变形后得到的函数（这里要纠正你一个小笔误：你写的共轭应该是$\frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{1 + \sqrt{1-x^{2}}$，不是$\sqrt{1+x}2}$，不然分子展开后会是$-x²$，和你后面的推导不符），正确变形后的函数是：
$$
g(x) = \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}
$$
这个函数的定义域是$[-1,1]$——因为根号里的$1-x^2 \geq 0$，分母$1 + \sqrt{1-x^2}$永远大于0，不会出现分母为0的情况。

所以$f$和$g$的定义域不一样，严格来说它们不是同一个函数，但在$f$的定义域$[-1,1] \setminus {0}$上，每一点的$f(x)$都等于$g(x)$，这时候我们就说$g$是$f$的延拓。

2. 为什么变形后能得到连续的延拓？ #

你用共轭相乘的操作，在原函数的定义域内（x≠0）是完全等价的——因为你乘以的那个分式等于1，没有改变原函数的取值。但这个变形后的表达式刚好避开了x=0时分母为0的问题，而且我们可以直接计算它在x=0处的取值：$g(0) = \frac{0}{1 + \sqrt{1-0}} = 0$。

同时，原函数$f(x)$在x=0处虽然没有定义，但它的极限是存在的：$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} g(x) = 0$，而$g(0)$刚好等于这个极限值，所以$g(x)$在x=0处连续——这就是「连续延拓」的核心：延拓后的函数在新增的点上连续，并且和原函数在原有定义域上完全一致。

3. 怎么理解“乘以1却得到了更‘好’的函数”？ #

你并没有“改变”原函数，只是找到了一个在更大定义域上有定义的“替代函数”。原函数在x=0处没有定义，所以谈不上连续或者不连续，但它在x=0处有极限，这就意味着我们可以把这个极限值作为x=0处的函数值，补全这个点的定义，从而得到一个连续的函数——你的代数变形刚好帮我们直接算出了这个极限值，并且给出了一个在x=0处有定义的表达式，相当于帮我们完成了补全定义的操作。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Brad G.