有限群直积的所有正规子群均为正规子群直积的判定准则问询

你提的这个问题在有限群论里是个经典的判定问题，你的观察非常到位：

• 当两个有限群$G_1$和$G_2$的阶互素时，$G_1 \times G_2$的所有正规子群确实都能写成$N_1 \times N_2$（其中$N_1 \lhd G_1$，$N_2 \lhd G_2$）；
• 而像$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$这种阶不互素的情况，就存在$\langle (1,1) \rangle$这种无法拆成直积的正规子群；
• 你举的$A_4 \times \mathbb{Z}_3$例子很有意思——它们的阶不互素（都含素因子3），但所有正规子群确实都是直积形式，这说明互素只是充分条件，而非必要条件。

关于这个问题的准确判定准则，群论中有如下等价条件：

有限群$G_1$和$G_2$满足$G_1 \times G_2$的每个正规子群都是$N_1 \times N_2$（$N_i \lhd G_i$）当且仅当：
对于每个素数$p$，$G_1$和$G_2$中至少有一个群没有非平凡的$p$-正规子群（即没有阶为$p$的幂的非平凡正规子群）。

我们用这个准则验证你的例子：

1. $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$：对于$p=2$，两个群都有非平凡的2-正规子群（它们自身），因此不满足条件，存在非直积的正规子群。
2. $A_4 \times \mathbb{Z}_3$：
   • 对于$p=2$：$\mathbb{Z}_3$没有非平凡的2-正规子群，满足；
   • 对于$p=3$：$A_4$没有非平凡的3-正规子群（$A_4$的正规子群只有平凡子群、$V_4$（阶4）和$A_4$本身，没有阶为3的幂的非平凡正规子群），满足；
     因此所有正规子群都是直积形式。

另外，阶互素的情况显然满足这个准则——因为每个素数$p$只整除其中一个群的阶，另一个群自然没有非平凡的$p$-正规子群。

如果你想从同态的角度理解，这个准则也等价于：不存在非平凡的$p$-群$H$，使得$H$既是$G_1$的同态像，又是$G_2$的同态像。因为如果存在这样的$H$，就可以构造出像$\langle (h_1, h_2) \rangle$这样的非直积正规子群，其中$h_1$和$h_2$分别是$G_1$和$G_2$中对应到$H$的生成元。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ElectroSchOOp