关于元素为$u^{|i-j|}-u^{i+j}$（$u \in (0, 1)$）的n阶方阵正半定性的证明问询

大家好，我最近碰到这么个线性代数的问题，想请各位帮忙看看：

考虑n阶方阵$A_n$，它的(i,j)位置元素是$A_n(i,j) = u^{|i-j|} - u^{i+j}$，其中$u \in (0, 1)$，我想确认这个矩阵是不是正半定的？

我自己先试了小阶数的情况：

• 当n=1时，$A_1 = 1 - u^2$，因为u在(0,1)区间里，这个值显然非负，正半定性直接成立。
• 当n=2时，我把矩阵展开后得到$A_2 = (1 - u^2)\begin{pmatrix} 1 & u \ u & 1+u^2 \end{pmatrix}$，然后通过分析二次型来验证：
  把二次型除以正因子$(1-u^2)$后，得到：
  $$\frac{(x, y)^T A_2 (x, y)}{1-u^2} = x^2 + (1 +u^2)y2 + 2xyu$$
  我把这个式子放缩了一下，它显然大于等于$x^2 + u^2 y^2 + 2xyu = (x + uy)^2 \geq 0$，所以二次型非负，$A_2$的正半定性也没问题。

但到了n≥3的情况，我就不知道该怎么推广这个结论了。我想过几个方向，但都没走通：

• 比如用归纳法，那按说需要证明$A_n$的行列式为正，但高阶行列式的计算看起来特别棘手，没找到明显的规律。
• 有没有更巧妙的思路来直接证明一般情况的正半定性呢？比如能不能把$A_n$表示成某个矩阵的Gram矩阵（这样天然正半定），或者找到适合一般n的二次型放缩方式？

真心求各位给点思路或者解法！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Drew Brady