关于域嵌入存在性证明的推导疑问：从克罗内克定理到嵌入存在性的过渡

原问题 #

设$F$是一个域，$f(x) \in F[x]$是$F$上次数大于0的多项式。证明存在域$F'$和嵌入$q:F \to F'$，使得多项式$f^{q$在$F'$中有根，其中$f}q$是将$f$的每个系数$a$替换为$q(a)$得到的多项式。

我的尝试 #

我想到了克罗内克定理：存在域扩张$F'/F$，使得$f(x) \in F[x]$在$F'$中有根。

我的疑问 #

怎么从这个结论过渡到证明存在这样的域嵌入$q$呢？我猜测域扩张的存在性应该能推出嵌入的存在性，但不确定，而且我在域扩张的定义里也没看到相关说明。

解答 #

嗨，你其实已经摸到关键点啦！首先得明确：域扩张本身就自带一个自然的嵌入。

当我们说$F'$是$F$的域扩张时，根据域扩张的定义，存在一个单同态（也就是嵌入）$q:F \to F'$，这个嵌入就是把$F$中的每个元素映射到它在$F'$中的“副本”——换句话说，$q(a)=a$对所有$a \in F$都成立（因为扩张域里包含了原域的一个同构副本，我们通常就把原域和这个副本等同起来，所以看起来像是直接包含）。

那回到你的问题，用克罗内克定理得到的$F'/F$，这个扩张对应的自然嵌入$q$就是我们要找的：

• 首先，$q:F \to F'$是嵌入（单同态），这是域扩张的固有属性；
• 然后，因为$f(x)$在$F'$中有根$\alpha$，而$f^{q$其实就是把$f$的系数通过$q$映射到$F'$里，由于$q(a)=a$（自然嵌入），所以$f}q(x)$就是$f(x)$本身，那$\alpha$自然就是$f^q(x)$在$F'$中的根。

可能你之前混淆了“域扩张”的定义细节——很多教材里会把域扩张写成$F \subseteq F'$，这其实是把原域$F$和它在$F'$中的嵌入像等同起来了，所以这个自然嵌入就被隐含掉了，但它确实是存在的。

如果换个更一般的情况，哪怕我们不把$F$和它的像等同，克罗内克定理构造的$F'$是$F[x]/(f(x))$（当$f$不可约时），或者拆分出不可约因子后构造，这时候我们可以定义嵌入$q:F \to F[x]/(f(x))$为$q(a)=a+(f(x))$，也就是把$F$中的元素映射到常数多项式所在的等价类，这显然是一个单同态（因为如果$a+(f(x))=b+(f(x))$，则$a-b \in (f(x))$，而$f$次数大于0，所以只有$a=b$），同时$f^{q(x)$在$F'$中的根就是$x+(f(x))$，因为$f}q(x+(f(x)))=f(x)+(f(x))=0+(f(x))$。

这样一来，不管是哪种构造方式，这个嵌入$q$都是天然存在的，只是有时候被我们的“等同”操作给隐藏了而已。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1011