关于[0,1]区间内二进制非简单正规数不可数性的证明咨询

当然能证明这个结论——[0,1]里的二进制非简单正规数确实是不可数的，给你分享两种易懂的思路：

思路一：构造特殊不可数子集 #

首先明确：简单正规数的二进制展开中，0和1的渐近密度都是$\frac{1}{2}$。我们可以直接构造一个不可数的非简单正规数子集：

• 考虑所有二进制展开中1的渐近密度为0的数：比如对自然数集$\mathbb{N}$的任意一个渐近密度为0的无限子集$S$（比如所有平方数的位置），构造一个数，它的二进制展开仅在$n \in S$的位置取1，其余全取0。这类数的1的渐近密度显然是0，属于非简单正规数。
• 而自然数集的渐近密度为0的无限子集是不可数的，所以这类非正规数已经构成了一个不可数集合，由此可推整个二进制非简单正规数集合必然不可数。

思路二：补集视角辅助验证 #

我们知道[0,1]本身是不可数区间，而二进制简单正规数是测度为1的集合（几乎所有数都是简单正规数），但测度为1不代表它覆盖了所有数。它的补集（非简单正规数）测度为0，但测度0的集合完全可以不可数（比如康托集就是典型的测度0不可数集合）。结合我们刚才构造的不可数非正规数子集，就能直接确认结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andrey Shlykov