公平硬币满足特定正反次数差条件的期望翻转次数求解咨询

嘿，这个问题其实属于经典的带吸收壁的对称随机游走问题，咱们一步步来拆解清楚：

首先明确问题核心：我们有一枚公平硬币（正反概率都是0.5），想求首次出现「正面比反面多至少15次」或者「反面比正面多至少25次」时，总共需要翻转的期望次数。

思路分析 #

可以把每次翻转后的状态定义为「当前正面数 - 反面数」，初始状态是0。我们的目标就是从状态0出发，首次到达状态+15（正超15）或状态-25（负超25）时的期望步数。

对于这种对称随机游走（每步向上/向下概率各0.5），有个非常简洁的结论：
如果两个吸收壁分别在+a和-b（a、b都是正整数），那么从0出发的期望步数就是 a×b。

放到你的问题里，a=15，b=25，所以期望次数就是15×25=375次。

递推法验证（怕结论太突兀？咱们推导一遍） #

设E[k]表示当前状态为k时，到达吸收壁的期望步数，那么：

• 边界条件：当k=15或k=-25时，已经满足终止条件，所以E[15]=0，E[-25]=0
• 递推关系：对于-25 < k < 15的状态，每翻转一次，有50%概率到k+1，50%到k-1，同时消耗1步，所以递推式为：

  E[k] = 1 + 0.5×E[k+1] + 0.5×E[k-1]
  

整理这个递推式得到二阶线性方程：E[k+1] - 2E[k] + E[k-1] = -2，求解这个方程的通解，再代入边界条件，最终会得到初始状态k=0时的E[0]=375，和前面的结论完全一致。

补充说明 #

你提到“这个事件看起来很不可能”——其实单次试验中，确实需要较多步数才会触发终止条件，但期望次数是所有可能情况的加权平均，这个375的结果是经过严格推导的，完全合理~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Iamtrying