三维立方体中的装箱问题——Loomis-Whitney/Finner/Brascamp–Lieb/Hölder不等式的推广
嘿，这个问题涉及到测度论和几何装箱的经典思路，咱们一步步来拆解解答：
首先先明确你给出的背景观察（这里推测你可能笔误，原描述中的z≠z'与例子矛盾，实际例子中z坐标可以相同）：
考虑三维单位立方体，以及N个尺寸为1/N × 1/N × 1的正交平行六面体（每个体积V=1/N²）。可以将这些平行六面体放入立方体中，使得来自不同平行六面体的任意两点(x,y,z)和(x',y',z')满足x≠x'且y≠y'。例如，第j个平行六面体包含所有满足j/N < x,y < (j+1)/N且0 < z < 1的点。
接下来回答你的三个问题：
a. 能否证明V ≤ 1/N²？
当然可以！这里可以用Brascamp–Lieb不等式的特殊情况，或者更基础的测度论方法推导：
假设我们有N个可测物体$A_1,A_2,...,A_N$，每个体积为V，满足修正后的条件：不同物体的点$x≠x'$且$y≠y'$（即任意两个物体在x轴和y轴上的投影两两不交）。
对于每个物体$A_k$，记：
- $a_k$ = $A_k$在x轴上的投影长度，即$a_k = |P_x(A_k)|$
- $b_k$ = $A_k$在y轴上的投影长度，即$b_k = |P_y(A_k)|$
由于所有$A_k$的x投影两两不交且都包含在[0,1]中，因此$\sum_{k=1}^N a_k ≤ 1$；同理$\sum_{k=1}^N b_k ≤ 1$。
根据Fubini定理，每个物体的体积V满足：
$$V = \iiint_{A_k} dx dy dz ≤ a_k · b_k · 1 = a_k b_k$$
（因为z坐标始终在[0,1]内，z方向的积分上限为1）
现在利用柯西不等式：
$$\sum_{k=1}^N a_k b_k ≤ \frac{(\sum_{k=1}^N a_k)(\sum_{k=1}^N b_k)}{N} ≤ \frac{1·1}{N} = \frac{1}{N}$$
而$\sum_{k=1}^N V = N·V ≤ \sum_{k=1}^N a_k b_k ≤ \frac{1}{N}$，因此$N·V ≤ \frac{1}{N}$，即$V≤\frac{1}{N²}$。
完美，这就证明了V的上界是$\frac{1}{N²}$。
b. 若V=1/N²，物体是否必须是1/N×1/N×1的正交平行六面体？如何放置？
当$V=\frac{1}{N²}$时，上述推导中的所有不等式都必须取等号：
- 每个物体的体积$V=a_k b_k ·1$，这意味着物体在z轴上的投影必须是整个[0,1]区间（即z方向充满单位立方体），且物体必须是正交平行六面体（否则体积会小于$a_k b_k·1$）。
- $\sum_{k=1}^N a_k=1$且$\sum_{k=1}^N b_k=1$，同时$\sum a_k b_k=\frac{1}{N}$，这要求所有$a_k=\frac{1}{N}$且所有$b_k=\frac{1}{N}$（柯西不等式取等当且仅当$a_k$与$b_k$成比例，结合$\sum a_k=\sum b_k=1$，只能是$a_k=b_k=\frac{1}{N}$）。
不过放置方式不一定和你给出的例子完全相同——只要满足每个物体是$x∈(x_k, x_k+\frac{1}{N})$，$y∈(y_k, y_k+\frac{1}{N})$，$z∈(0,1)$，且所有x区间两两不交、所有y区间两两不交即可。比如：
- x区间可以按任意顺序排列（比如第1个物体x∈(0,1/N)，第2个x∈(2/N,3/N)等）
- x和y的区间可以不一一对应（比如第1个物体x∈(0,1/N)、y∈(1/N,2/N)；第2个物体x∈(1/N,2/N)、y∈(0,1/N)）
你给出的对角线排列（x和y区间对应相同的j）是最直观的一种，但不是唯一的。
c. 是否存在包含所有情况的不等式及等号条件？
有的！这个问题本质上是Brascamp–Lieb不等式的一个特殊实例，针对三维单位立方体中的可测集族，满足投影不交的条件。
更一般的表述是：
设$A_1,A_2,...,A_N$是单位立方体$[0,1]^3$中的可测集，满足任意$i≠j$时，$P_x(A_i)∩P_x(A_j)=∅$且$P_y(A_i)∩P_y(A_j)=∅$（x和y轴投影两两不交），则：
$$\sum_{k=1}^N |A_k| ≤ \frac{1}{N}$$
当且仅当每个$A_k$是正交平行六面体，且$P_x(A_k)$是长度为$\frac{1}{N}$的两两不交区间，$P_y(A_k)$是长度为$\frac{1}{N}$的两两不交区间，$P_z(A_k)=[0,1]$时，等号成立。
如果严格对应你的问题（每个集合体积相同），则不等式变为$N·V ≤\frac{1}{N}$，即$V≤\frac{1}{N²}$，等号条件同上。
另外，也可以用Hölder不等式来推导这个结果，核心都是利用投影不交的条件结合积分性质约束体积上界。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者MarcO
