二元函数的“mean value problem”证明求助

大家好，最近碰到这么一个挺有意思的证明题，可我完全摸不着头绪，想请教下各位大佬：

设$f(x,y),g(x,y)$是定义在$0 \leq x,y \leq 1$上的连续函数，满足：对任意$0 \leq x \leq 1$，有
$$f(x,x)=0,\ f(0,x)+f(x,1)=1,$$
$$g(x,x)=0,\ g(0,x)+g(x,1)=1.$$
证明：存在实数$a,b \in [0,1]$，使得$f(a,b)=g(a,b)=1/2$。

这个问题感觉设计得很巧妙，但我对着条件琢磨了半天，连从哪入手都不知道，有没有大佬能给点思路或者提示呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者finiteness