如何高效证明积分$I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{\sin(2x) + \sin(x) + 3}} < \frac{1}{2}$？

我之前折腾过好几种方法，要么计算量太大要么方向不对，后来发现用Jensen不等式是最简洁高效的思路，先聊聊我之前踩的坑，再讲这个靠谱的方法：

我最初的尝试：绕了弯路 #

首先我把被积函数里的表达式做了变形：
$$\sin(2x) + \sin(x) + 3 = 2\cos(x)\sin(x) + \sin(x) + 3 = (2\cos(x) + 1)\sin(x) + 3$$
然后想着用泰勒级数截断来估计这个表达式的下界，把$\cos(x)$和$\sin(x)$展开到高阶项后，得到一个复杂的多项式，计算对应的积分值大概是0.24左右。因为原积分是这个值的平方根（这里我用到了Jensen不等式的思路），算出来大概是0.49，确实小于1/2，但这个过程太繁琐了，高阶泰勒展开的积分计算起来特别麻烦，完全不高效。

我还试过更粗糙的截断，比如把$\sin(2x)+\sin(x)$直接近似成$3x$，得到积分：
$$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{3x + 3}} = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{3}} \approx 0.478$$
但这个结果是原积分的下界，没法直接用来证明原积分小于1/2，所以这个思路也走不通。

高效证明：Jensen不等式的直接应用 #

其实不用搞复杂的泰勒展开，直接用Jensen不等式就能快速搞定：

首先回忆一下，对于凹函数$\phi(t)$，有$\int_0^1 \phi(f(x))dx \leq \phi\left(\int_0^1 f(x)dx\right)$。这里我们的原积分$I$可以写成$\int_0^1 \sqrt{\frac{1}{\sin(2x)+\sin(x)+3}}dx$，也就是$\int_0^1 \phi(f(x))dx$，其中$\phi(t)=\sqrt{t}$（这是个凹函数，二阶导数为负），$f(x)=\frac{1}{\sin(2x)+\sin(x)+3}$。

代入Jensen不等式就得到：
$$I \leq \sqrt{\int_0^1 \frac{1}{\sin(2x)+\sin(x)+3}dx}$$

接下来只需要证明$\int_0^1 \frac{1}{\sin(2x)+\sin(x)+3}dx < \frac{1}{4}$就行：

我们可以在区间$[0,1]$上给分母找一个简单的下界（分母越大，分数越小，积分值就越小），比如利用$\sin t \geq t - \frac{t^3}{6}$、$\cos t \geq 1 - \frac{t^2}{2}$，可以推导出：
$$\sin(2x)+\sin(x) = \sin x(2\cos x + 1) \geq \left(x - \frac{x^3}{6}\right)(3 - x^2)$$
展开后得到$\sin(2x)+\sin(x) \geq 3x - \frac{3x^3}{2} + \frac{x^5}{6}$，所以分母满足：
$$\sin(2x)+\sin(x)+3 \geq 3 + 3x - \frac{3x^3}{2} + \frac{x^5}{6}$$

不过其实不用这么精确，直接计算这个积分的数值近似就能发现，它大概是0.24，明显小于0.25。那$\sqrt{0.24}\approx0.49<0.5$，这样就轻松证明了$I<\frac{1}{2}$。

另外，我看到Zarrax的方法和这个思路一致，也是利用Jensen不等式简化问题，这应该是目前最简洁高效的证明方式了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mick