代数方程中的增根问题：同乘x后两方程增根出现差异的原因

嘿，这个问题问到点子上了！咱们得先把增根的本质搞清楚：增根就是你在解方程时，做了会改变原方程定义域的操作后，冒出来的那种根本不满足原方程的“假解”。

先看第一个方程：
$$
\begin{split}
x+\frac{1}{x} &=2 \quad\implies\text{两边同乘} \ x \
x^2 + 1 &= 2x \
x^2-2x+1 &=0\
(x-1)^2&=0\
x&=1
\end{split}
$$
你注意到没？原方程里有$\frac{1}{x}$，这就意味着x=0从一开始就不在原方程的定义域里——分母不能为0嘛！所以当你两边乘x的时候，其实是默认了x≠0这个前提，变形后的方程解出来只有x=1，代入原方程完全成立，而且也符合原方程的定义域要求，自然不会出现x=0这个增根。

再看第二个方程：
$$
\begin{split}
2x+4 &= 0 \quad\implies\text{两边同乘} \ x \
2x^2+4x & =0\
2x(x+2) & =0\
x=0 \lor x&=-2
\end{split}
$$
原方程是个一次方程，它的定义域是全体实数，x=0本来是允许的，但你把x=0代入原方程试试：左边是$2*0+4=4≠0$，根本不满足原方程！那为啥乘x后会冒出来x=0呢？因为当你给一次方程两边乘x，相当于把它变成了二次方程，这个二次方程的解集范围比原方程大，会包含那些满足新方程但不满足原方程的解，x=0就是这么来的，所以它成了增根。

总结一下核心区别：

• 第一个方程从一开始就把x=0排除在外，乘x的操作没有引入新的“可疑解”，所以没增根；
• 第二个方程原定义域包含x=0，但x=0不满足原方程，乘x后扩大了方程的解的范围，才让这个假解冒了出来。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mawaior