如何证明给定级数发散？

别担心，这个级数其实可以通过分析它的偶数项子列来证明发散，咱们一步步拆解：

首先先看级数的通项：
$$a_n = \frac{\bigl(2 + (-1)^n\bigr)n}{\sqrt{n},3^n}$$

我们可以把n分为偶数和奇数两种情况来讨论：

• 当n为偶数时，令$n=2k$（$k$为正整数），此时$(-1)^n=1$，代入通项得：
  $$a_{2k} = \frac{(2+1)^{2k}}{\sqrt{2k} \cdot 3^{2k}} = \frac{3^{2k}}{\sqrt{2k} \cdot 3^{2k}} = \frac{1}{\sqrt{2k}}$$
• 当n为奇数时，令$n=2k-1$（$k$为正整数），此时$(-1)^n=-1$，通项变为：
  $$a_{2k-1} = \frac{(2-1)^{2k-1}}{\sqrt{2k-1} \cdot 3^{2k-1}} = \frac{1}{\sqrt{2k-1} \cdot 3^{2k-1}}$$

接下来考虑原级数的偶数项部分和：
当我们取前$2m$项的和$S_{2m} = \sum_{n=1}^{2m} a_n$，可以拆成奇数项和与偶数项和两部分：
$$S_{2m} = \sum_{k=1}^m a_{2k-1} + \sum_{k=1}^m a_{2k}$$

先看偶数项的和：
$$\sum_{k=1}^m a_{2k} = \sum_{k=1}^m \frac{1}{\sqrt{2k}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k=1}^m \frac{1}{\sqrt{k}}$$
我们知道p级数$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}$是发散的（因为p=1/2 < 1），所以当$m \to \infty$时，这个和会趋向正无穷。

再看奇数项的和：
$$\sum_{k=1}^m a_{2k-1} = \sum_{k=1}^m \frac{1}{\sqrt{2k-1} \cdot 3^{2k-1}}$$
这是一个正项级数，每一项都小于$\frac{1}{3^{{2k-1}}$，而等比级数$\sum_{k=1}}{\infty} \frac{1}{3^{2k-1}}$的公比为$\frac{1}{9} < 1$，是收敛的，所以这个和当$m \to \infty$时会趋近于一个有限的常数。

这样一来，当$m \to \infty$时，$S_{2m}$就是一个有限常数加上一个趋向正无穷的数，因此$S_{2m} \to +\infty$。这说明原级数的部分和存在一个子列趋向无穷，因此原级数必然发散。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Confusedphysica