带二次约束的凸优化问题求解咨询

我太懂这种明明感觉问题不难，但卡了好几个小时的憋屈感了😤！先把你的问题再明确下，方便我们一步步拆解：

求解优化问题：
$$ \min_{x} c^Tx $$
约束条件：
$$||Ax||^2_2 \le 1 $$
其中矩阵 $$A \succ 0$$（即A是实对称正定矩阵）

首先回答你的第一个问题：这是二阶锥约束吗？ #

答案是可以转化为标准二阶锥约束。二阶锥的标准形式是 $|y|_2 \leq t$（其中t是一个非负标量），而你的约束 $|Ax|_2^2 \leq 1$ 等价于 $|Ax|_2 \leq 1$（因为欧氏范数本身非负，平方不超过1和范数不超过1是完全等价的）。把 $y=Ax$、$t=1$ 代入标准形式，就得到了二阶锥约束 $|y|_2 \leq t$，同时加上线性等式约束 $y=Ax$，所以整个问题可以被表述为一个二阶锥规划（SOCP）。

接下来拆解等价问题，求解最优解$x^*$ #

因为A是正定矩阵，它必然可逆，我们可以通过变量替换简化问题：
令 $z = Ax$，那么 $x = A^{-1}z$，代入原问题后，问题转化为：
$$ \min_{z} c^T A^{-1} z $$
约束条件：
$$|z|_2^2 \leq 1 $$

这就变成了一个非常经典的问题：线性函数在单位欧氏球上的最小化。根据柯西-施瓦茨不等式，线性函数 $d^T z$（这里 $d = A^{-1}c$）在 $|z|_2 \leq 1$ 上的最小值为 $-|d|_2$，对应的最优$z^* = -\frac{d}{|d|_2} = -\frac{A^{-1}c}{|A{-1}c|_2}$。

再把$z^$代回$x = A^{-1}z$，就能得到原问题的最优解：
$$x^ = -\frac{A^{-2}c}{|A{-1}c|_2}$$

如果你习惯用拉格朗日乘数法验证，也可以这么做：
构造拉格朗日函数 $L(x, \lambda) = c^T x + \lambda(|Ax|_2^2 -1)$（$\lambda \geq 0$ 是拉格朗日乘数），对x求导并令导数为0：
$$\nabla_x L = c + 2\lambda A^T A x = 0$$
因为A正定，$A^T A$可逆，所以 $x = -\frac{c}{2\lambda A^T A}$。代入约束条件 $|Ax|_2^2=1$，可以解出 $\lambda = \frac{1}{2}\sqrt{c^T A^{-2}c}$，再代回x的表达式，最终得到的最优解和变量替换法的结果完全一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者bikeactuary