域扩张中生成域等式F(a₁,…,aₙ₋₁)(aₙ)=F(a₁,…,aₙ)的正确性求证问询

嗨，我来帮你补全反向包含的证明，其实核心就抓牢生成域的最小性这个关键性质就行，思路和你正向的证明是对称的~

先回顾一下生成域的定义：对于任意子集$S \subset E$，$F(S)$是$E$中包含$F$和$S$的最小子域——这是我们所有推导的核心依据。

你已经完成了正向包含的证明：设$S={a₁,…,a_{n-1}}$，显然$S \subset S\cup{a_n}$，所以$F(S) \subseteq F(S\cup{a_n})$。而$F(S)(a_n)$是包含$F(S)$和$a_n$的最小子域，根据最小性，它必然包含在更大的$F(S\cup{a_n})$（也就是$F(a₁,…,a_n)$）中，即$F(a₁,…,a_{n-1})(a_n) \subseteq F(a₁,…,a_n)$。

接下来是你卡住的反向包含$F(a₁,…,a_n) \subseteq F(a₁,…,a_{n-1})(a_n)$，我们同样用“最小性”来推导：

• 首先，$F(a₁,…,a_{n-1})(a_n)$是包含$F(a₁,…,a_{n-1})$的域，而$F(a₁,…,a_{n-1})$本身就包含$F$和所有$a₁,…,a_{n-1}$，所以$F(a₁,…,a_{n-1})(a_n)$自然包含$F$和$a₁,…,a_{n-1}$；
• 其次，根据$F(a₁,…,a_{n-1})(a_n)$的定义，它是由$F(a₁,…,a_{n-1})$添加$a_n$生成的域，所以它必然包含$a_n$；

综上，$F(a₁,…,a_{n-1})(a_n)$这个域已经满足“包含$F$和${a₁,…,a_n}$”的条件，而$F(a₁,…,a_n)$是满足这个条件的最小子域，因此$F(a₁,…,a_n)$必须包含在$F(a₁,…,a_{n-1})(a_n)$中。

既然两边互相包含，那等式$F(a₁,…,a_{n-1})(a_n)=F(a₁,…,a_n)$就成立啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者isaac098