求复数模等式$|\frac{e^{j\theta} - a}{1 - ae^{j\theta}}| = 1$的严谨几何证明

先说说代数证明吧，虽然能直接算出来，但总觉得差点意思——毕竟这个等式背后藏着很精妙的几何直觉，不用几何证法太可惜了！

代数推导过程是这样的：
$$\left|\frac{-a+e^{-j \theta}}{1-a e^{-j \theta}}\right|=\sqrt{\frac{(-a+\cos (-\theta))^2+(\sin (-\theta))^2}{(1-a \cos (-\theta))^2+(a \sin (-\theta))^{2}}=\sqrt{\frac{a}2-2 a \cos (\theta)+1}{a^2-2 a \cos (\theta)+1}}=1$$

但这种纯代数的推导完全没体现出问题的几何美感，咱们换个思路看：

先把原等式做个等价变形，把分母$1 - a e^{-j\theta}$提取出$a$，变成$a \cdot (\frac{1}{a} - e^{-j\theta})$，那么原等式可以转化为：
$$\left|\frac{e^{-j\theta} - a}{a \cdot (\frac{1}{a} - e^{-j\theta})}\right| = 1$$
因为$|a|$是正数，把它提出来后就得到：
$$\frac{1}{|a|} \cdot \left|\frac{e^{-j\theta} - a}{\frac{1}{a} - e^{-j\theta}}\right| = 1$$
进一步变形为：
$$\left|\frac{e^{-j\theta} - a}{\frac{1}{a} - e^{-j\theta}}\right| = |a|$$

现在把复数对应到复平面上的点，几何意义就清晰了：

• 设点$P$对应复数$e^{-j\theta}$，它的模长是1，所以$P$是单位圆上的任意一点；
• 点$A$对应复数$a$（这里假设$|a| < 1$，也就是$A$在单位圆内部）；
• 点$A'$对应复数$\frac{1}{a}$，这是$A$关于单位圆的反演点——反演的核心性质就是$OA \cdot OA' = 1$（$O$是复平面原点），因为$|a| \cdot |\frac{1}{a}| = 1$，而$OP = 1$，所以$OA \cdot OA' = OP^2$。

接下来用相似三角形证明：
在$\triangle OAP$和$\triangle OPA'$中：

1. $OA/OP = |a|/1 = |a|$；
2. $OP/OA' = 1/(1/|a|) = |a|$；
3. $\angle AOP$是两个三角形的公共角。

根据SAS相似判定定理，$\triangle OAP \sim \triangle OPA'$。相似三角形的对应边成比例，所以$PA/PA' = OA/OP = |a|$，这就正好验证了我们变形后的等式$\left|\frac{e^{-j\theta} - a}{\frac{1}{a} - e^{-j\theta}}\right| = |a|$。

把这个结论倒推回去，就能轻松得到原等式$|\frac{e^{j\theta} - a}{1 - ae^{j\theta}}| = 1$成立，而且这个几何证明完美体现了反演点和相似三角形的巧妙性质，比纯代数推导直观多了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Krish