关于“若$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$是凸函数且有上界则$f$为常函数”的证明疑问

Prove that if $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ is convex and bounded from above, then $f$ is constant.

Our teacher showed us this, and asked us to solve the rest. But I'm a bit confused by what he did.

老师展示的推导过程 #

$$\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2 = x_3$$
$$f(x_3) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2)$$
$$\lambda \to 1$$
$$f(x_3) \leq f(x_1)$$
$$\lambda(x_1 - x_2) = x_3 - x_2$$
$$\lambda = \frac{x_3 - x_2}{x_1 - x_2} \to \frac{x_3/x_2 - 1}{x_1/x_2 - 1} \to 1$$
$$x_2 \to \infty$$
$$\lambda := \frac{x_3 - x_2}{x_1 - x_2} \to 1$$
$$x_2 \to \infty$$
$$\lambda = \frac{x_2 - x_3}{x_2 - x_1} < 1$$
$$f(x_3) \leq f(x_1)$$

老师布置的后续任务：

He asked us to do
$$f(x_1) \leq f(x_3)$$

我的困惑 #

我实在搞不懂老师这推导的逻辑。我知道凸函数的定义就是他开头用的那个不等式，也明白“有上界”就是说存在某个常数$M$，使得所有$x$都满足$f(x) \leq M$。

但我完全没看出来老师这一串推导是要证明什么，看起来他是想最终推出$f(x_1) = f(x_3)$，但我真的不理解他写的这些内容怎么能支撑这个结论。比如最后他得出$\lambda < 1$，那原始的凸函数不等式是：
$$f(x_3) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2)$$

既然$\lambda < 1$，那怎么能得出$f(x_1) \leq f(x_3)$呢？我感觉只有当$\lambda = 1$的时候这个结论才成立啊，$\lambda < 1$的话根本说不通。是不是我漏掉了什么关键的点？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PapuaNewGuinea