关于Bogachev《Measure Theory》中推论4.4.5排除p=1情况的合理性疑问

大家好，我最近在啃V.I. Bogachev的《Measure Theory》，看到第264页的推论4.4.5时卡壳了，想请教一下各位大佬：

4.4.5. 推论 设$\mu$是非负有限或$\sigma$-有限测度，且$p^{-1}+q{-1}=1$，其中$1<p<\infty$。
若可测函数$f$满足：对所有$g\in L^q(\mu)$，都有$fg\in L^1(\mu)$，则$f\in L^p(\mu)$。

这个推论是基于书中的命题4.4.4推导而来的，而该命题的适用范围是包含$p=1$的：

4.4.4. 命题 设$\mu$是空间$X$上的非负有限或$\sigma$-有限测度。集合$\mathcal{F}$在$L^p(\mu)$中有界（其中$p\in[1,\infty)$）当且仅当：对所有$g\in L^{p/(p-1)}(\mu)$，都有$\sup_{f\in\mathcal{F}}\int_X fg d\mu <\infty$。

我反复对比了两者的逻辑关联，发现命题4.4.4明明接受$p=1$的情况，但推论4.4.5却特意把$p$限制在$(1,\infty)$区间里。我翻来覆去想了好久，都没找到排除$p=1$的合理依据——从命题的条件来看，$p=1$的场景应该是可以被覆盖的啊？

所以想问问大家：这个对$p$的限制是作者的笔误，还是确实存在某种我没注意到的原因，必须要排除$p=1$的情况？

麻烦各位帮忙指点迷津，谢谢啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rfloc