关于可微流形上平方度量距离是否为散度的技术问询

假设我们有一个可微流形 $M$，它同时也是一个度量空间 $(M,d)$，拓扑由度量距离 $d$ 诱导；并且假设 $d$ 在 $M\times M$ 上是 $C^2$ 的。定义平方度量距离函数 $D:M\times M\to[0,+\infty )$，即：
$D(p,q):=(d(p,q))^2$

我的问题是：$D$ 是否也构成一个散度？

非负性和正定性是显然成立的，但我卡在了一个关键条件上：

对任意 $p\in M$，当 $dp$ 是从 $p$ 出发的无穷小位移时，$D(p,p+dp)$ 是一个正定二次型。

我知道如果 $M$ 是黎曼流形 $(M,g)$，且 $d$ 是由 $g$ 诱导的测地距离，那么这个条件是定义性成立的。但在一般情况下，我只能证明这个二次型是半正定的，没法推导出正定的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lorenzo Manini