求将三维空间中一组3向量基转换为另一组的旋转矩阵

问题背景 #

我们有三维空间中的一组标准基：Vx = (1,0,0)，Vy = (0,1,0)，Vz=(0,0,1)，该基通过旋转矩阵M分别转换为Vx'、Vy'、Vz'，得到以下矩阵方程：

M * Vx = Vx' 
M * Vy = Vy' 
M * Vz = Vz'

这对应关于矩阵M的9个分量的9个线性方程。我们需要将其转化为A * m = b的形式（便于用numpy等工具求解），其中：

• m是M的未知分量按行优先排列的列向量：[m11, m12, m13, m21, m22, m23, m31, m32, m33]^T（上标T表示转置）
• A为9×9的系数矩阵
• b为9×1的常数列向量

逐方程展开推导 #

首先明确旋转矩阵M的结构：

M = [
    [m11, m12, m13],
    [m21, m22, m23],
    [m31, m32, m33]
]

我们逐个展开矩阵乘法方程：

1. 第一个方程：M * Vx = Vx'
   Vx是列向量(1,0,0)^T，矩阵乘法结果就是M的第一列，等于Vx' = (vx'₁, vx'₂, vx'₃)^T，对应3个线性方程：

   • m11 = vx'₁
   • m21 = vx'₂
   • m31 = vx'₃

2. 第二个方程：M * Vy = Vy'
   Vy是列向量(0,1,0)^T，乘法结果是M的第二列，等于Vy' = (vy'₁, vy'₂, vy'₃)^T，对应3个线性方程：

   • m12 = vy'₁
   • m22 = vy'₂
   • m32 = vy'₃

3. 第三个方程：M * Vz = Vz'
   Vz是列向量(0,0,1)^T，乘法结果是M的第三列，等于Vz' = (vz'₁, vz'₂, vz'₃)^T，对应3个线性方程：

   • m13 = vz'₁
   • m23 = vz'₂
   • m33 = vz'₃

A矩阵与b向量的表达式 #

现在把这9个方程映射到A * m = b的形式：

系数矩阵A

A是一个9×9的置换矩阵，每行只有一个位置为1（对应m中需要被选中的分量），其余位置为0：

A = [
    [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0],
    [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0],
    [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
]

每行对应的逻辑：

• 第1行：选中m11对应vx'₁
• 第2行：选中m21对应vx'₂
• 第3行：选中m31对应vx'₃
• 第4行：选中m12对应vy'₁
• 第5行：选中m22对应vy'₂
• 第6行：选中m32对应vy'₃
• 第7行：选中m13对应vz'₁
• 第8行：选中m23对应vz'₂
• 第9行：选中m33对应vz'₃

常数向量b

b是将三个变换后的基向量的分量按顺序排列的列向量：

b = [vx'₁, vx'₂, vx'₃, vy'₁, vy'₂, vy'₃, vz'₁, vz'₂, vz'₃]^T

完整矩阵表达式 #

把A * m = b写成完整的矩阵乘法形式：

[1 0 0 0 0 0 0 0 0]   [m11]   [vx'₁]
[0 0 0 1 0 0 0 0 0]   [m12]   [vx'₂]
[0 0 0 0 0 0 1 0 0]   [m13]   [vx'₃]
[0 1 0 0 0 0 0 0 0] * [m21] = [vy'₁]
[0 0 0 0 1 0 0 0 0]   [m22]   [vy'₂]
[0 0 0 0 0 0 0 1 0]   [m23]   [vy'₃]
[0 0 1 0 0 0 0 0 0]   [m31]   [vz'₁]
[0 0 0 0 0 1 0 0 0]   [m32]   [vz'₂]
[0 0 0 0 0 0 0 0 1]   [m33]   [vz'₃]

更新：我因该问题获得了“Notable question”奖项，特此更新以解除限制。请注意问题表述十分明确，我并非在寻找工具，“是否有工具可帮助推导逐分量公式？”仅为附加内容，无关紧要。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anton Ovsyannikov