关于Sheldon Ross《A First Course In Probability》中Example 4k玩家获胜概率推导错误的疑问

嗨，我来帮你拆解一下你推导里的问题～

首先，你套用的那个“n次成功发生在m次失败之前”的公式，和Example 4k的游戏机制完全不匹配，这是核心错误。咱们一步步理清楚：

你的推导里的关键问题 #

• 错误定义了“试验”场景
  你用的公式针对的是独立重复的二元试验：每次试验要么成功（概率p）要么失败（概率1-p），且每次试验只影响“成功次数”或“失败次数”的计数，和其他外部因素无关。但Example 4k里的游戏是多玩家动态对决：

  每次是随机选两个玩家比赛，赢的拿1单位，输的丢1单位，输到0的玩家直接淘汰，直到只剩一个人。

  这里玩家i的“赢/输”不是独立的试验——比如，当其他玩家互相比赛时，玩家i的筹码没变化，但游戏的整体状态（剩下的玩家、各自的筹码）已经改变了，这根本不是你假设的“玩家i持续进行赢1或输1的独立试验”。

• 误解了获胜条件的本质
  你认为玩家i需要“获得n-n_i次净胜，同时输的次数少于n_i次”，但实际上，玩家i的获胜是要最终持有所有n个单位，而这个过程中，其他玩家的淘汰会直接改变游戏规则：比如，可能玩家i还没输够n_i次，其他玩家就已经被淘汰了，此时游戏变成了玩家i和剩下的1个玩家对决，这和你假设的“在n-1次试验里达到目标”完全不是一回事。

正确推导的核心逻辑（对应答案P_i = n_i/n） #

这个问题的正确思路要用到公平游戏的期望守恒：

1. 因为每场比赛都是公平的（双方胜率各50%），整个系统的总财富期望是守恒的（始终是n = Σn_i）。
2. 对于玩家i来说，他的最终状态只有两种：要么输光所有筹码（财富0），要么赢走所有筹码（财富n）。设P_i是他获胜的概率，那么他的最终期望财富就是：
   P_i * n + (1-P_i) * 0 = n * P_i
3. 而他的初始期望财富就是他一开始持有的n_i，根据期望守恒，两者相等：
   n_i = n * P_i
   所以直接得出P_i = n_i/n。

简单来说，你套用的公式只适用于“一对一连续对决直到一方输光”的场景，但Example 4k是多玩家动态淘汰的公平游戏，这时候用对称性/期望守恒才是正确的解法～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ensbana