数值积分方法的推导分析及相关插值多项式、积分近似问题求解咨询

问题列表 #

a) 求三次插值多项式 $p_3(x)$ #

找到三次多项式 $p_3(x)$，使其在节点 $x = -1, 0, 1$ 处插值函数 $f(x)$，并且满足导数条件 $p_3'(0)=f'(0)$。

b) 计算积分近似值并判断方法 #

将 $S=\int_{-1}^1 p_3(x)dx$ 作为 $\int_{-1}^1 f(x)dx$ 的近似值，判断该近似属于哪种数值积分方法。

c) 应用分部积分恒等式推导积分等式 #

应用分部积分恒等式：
$$\int uv'''dx = uv'' - u'v' + u''v - \int u'''vdx$$
其中 $u(x)= \frac{1}{6}x(1-x)^2, \quad v(x) = f(x)+f(-x)$，推导出结果：
$$\int_{-1}^1 f(x)dx = S - \int_0^1 u(x)v'''(x)dx.$$

d) 估计积分近似的误差上限 #

证明若 $f \in C^4[-1,1]$，则：
$$\left|\int_{-1}^1 f(x)dx - S\right| \leq \frac{||f^{(4)}||_\infty}{90}$$

已完成解答 #

问题a) 的解答 #

设 $p_3(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，结合插值条件与导数条件进行求解：

• 插值条件：$p_3(-1)=f(-1), p_3(0)=f(0), p_3(1)=f(1)$
  $$
  \begin{align*}
  p_3(-1) &= -a+b-c+d = f(-1), \
  p_3(0) &= d = f(0), \
  p_3(1) &= a+b+c+d = f(1)
  \end{align*}
  $$
• 导数条件：$p_3'(0) = f'(0)$
  $$
  p_3'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \implies p_3'(0) = c = f'(0)
  $$

将 $d=f(0)$ 和 $c=f'(0)$ 代入插值等式，得到：
$$
\begin{align*}
-a+b &= f(-1) + f'(0) - f(0), \
a+b &= f(1)-f'(0)-f(0)
\end{align*}
$$

将两式相加消去 $a$，解得：
$$2b = f(-1) - 2f(0) + f(1) \implies b = \frac{f(-1)}{2} - f(0) + \frac{f(1)}{2}$$

再代入求 $a$：
$$a = \frac{f(1)}{2} - f'(0) - \frac{f(-1)}{2}$$

最终得到三次插值多项式：
$$
p_3(x) = \left(\frac{f(1)}{2} - f'(0) - \frac{f(-1)}{2}\right)x^3 + \left(\frac{f(-1)}{2} - f(0) + \frac{f(1)}{2} \right) x^2 + f'(0)x + f(0)
$$

问题b) 的解答 #

记 $A = \frac{f(1)}{2} - f'(0) - \frac{f(-1)}{2}$，$B = \frac{f(-1)}{2} - f(0) + \frac{f(1)}{2}$，计算积分 $S$：
$$
\begin{align*}
S &= \int_{-1}^1 p_3(x)dx = \int_{-1}^1 \left(Ax^3 + Bx^2 + f'(0)x + f(0)\right)dx \
&= \left. \left( \frac{A x^4}{4} + \frac{B x^3}{3} + \frac{f'(0) x^2}{2} + f(0)x \right) \right|_{-1}^1 \
&= \left( \frac{A}{4} + \frac{B}{3} + \frac{f'(0)}{2} + f(0) \right) - \left( \frac{A}{4} - \frac{B}{3} + \frac{f'(0)}{2} - f(0) \right) \
&= \frac{2B}{3} + 2f(0)
\end{align*}
$$

将 $B$ 代入展开：
$$
\begin{align*}
S &= \frac{2}{3} \left(\frac{f(-1)}{2} - f(0) + \frac{f(1)}{2} \right) + 2f(0) \
&= \frac{f(-1)}{3} - \frac{2f(0)}{3} + \frac{f(1)}{3} + 2f(0) \
&= \frac{f(-1)}{3} + \frac{4f(0)}{3} + \frac{f(1)}{3} \
&= \frac{1}{3} \left(f(-1) + 4f(0) + f(1)\right)
\end{align*}
$$

可以看到这就是辛普森1/3方法（区间为 $[-1,1]$）。

待解决困惑 #

我在推导问题c)的时候卡住了，当前的推导步骤如下：
$$
\begin{align*}
\int_0^1 u v''' dx &= \frac{1}{6}x(1-x)^2(f(x)+f(-x))'' - \frac{3x^2-4x+1}{6}(f'(x)-f(-x))'

• \frac{3x-2}{3}(f(x)-f(-x)) - \int_0^1 \frac{3x-2}{3} (f(x)+f(-x)) dx \
  &= \frac{1}{6}x(1-x)^2(f''(x)+f''(-x))- \frac{3x^2-4x+2}{6}(f'(x)-f'(-x))
• \frac{3x-2}{3}(f(x)-f(-x)) - \int_0^1 \frac{3x-2}{4}(f(x)+f(-x))dx
  \end{align*}
  $$

有没有针对问题c) 或者d) 的提示或完整解答呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tomas Escobar Rivera