求解含二次分式的不定积分的技术咨询

嗨，看起来你在处理这个不定积分的时候走进了一个小误区——其实分母(x^2 + 10)在实数范围内是没法分解成两个一次因式乘积的，所以用部分分式的思路在这里行不通哦。咱们换个更合适的方法：把分子拆成两部分，分别对应积分里的两种常见类型~

首先，我们把原积分拆成两个独立的积分项：
$$
\frac{1}{10} \int \frac{3x+20}{x^2+10}dx = \frac{1}{10} \left( \int \frac{3x}{x^2+10}dx + \int \frac{20}{x^2+10}dx \right)
$$

处理第一个积分项 #

对于(\int \frac{3x}{x^2+10}dx)，咱们用换元法最方便：

• 令(u = x^2 + 10)，那么对(u)求导可得(du = 2x dx)，也就是(x dx = \frac{1}{2}du)
• 把换元后的式子代入积分：
  $$
  \int \frac{3x}{x^2+10}dx = 3 \times \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{3}{2} \ln|u| + C_1
  $$
  因为(x^2 + 10)恒大于0，所以绝对值可以直接去掉，得到：
  $$
  \frac{3}{2} \ln(x^2 + 10) + C_1
  $$

处理第二个积分项 #

这个是标准的反正切积分类型，回忆一下公式：(\int \frac{1}{a^2 + x^2}dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C)

• 这里分母是(x^2 + (\sqrt{10})^2)，所以(a = \sqrt{10})
• 代入公式计算：
  $$
  \int \frac{20}{x^2+10}dx = 20 \times \frac{1}{\sqrt{10}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{10}}\right) + C_2 = 2\sqrt{10} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{10}}\right) + C_2
  $$

合并结果并化简 #

把两个积分的结果合并，再乘上前边的(\frac{1}{10})，最后把常数项合并成(C)：
$$
\frac{1}{10} \left( \frac{3}{2} \ln(x^2 + 10) + 2\sqrt{10} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{10}}\right) \right) + C
$$
化简后得到最终的不定积分结果：
$$
\frac{3}{20} \ln(x^2 + 10) + \frac{\sqrt{10}}{5} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{10}}\right) + C
$$

最后补充一句：以后遇到分母是不可约实二次因式（判别式小于0）的分式积分，优先考虑拆分分子，把它拆成“分母导数的倍数”加“常数”的形式，这样就能分别用换元法和反正切公式解决啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者samsamradas