关于自然数集上所有无有限循环置换是否均存在平方根的技术问询

之前看到有回答把有限集置换中哪些存在平方根的情况分类得很清楚，这让我想到了一个核心问题：

是否每个无有限循环的自然数集置换 $\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ 都存在平方根？

先明确一下定义：这里的“无有限循环置换”，指的是置换里完全不包含长度有限的循环。这类置换可以用一种双向贪心算法来生成，只要过程中避免形成循环就行。

举个贪心构造的具体例子：

• $\sigma(1) = 2,\ \sigma^{-1}(1) = 3$
• $\sigma(2) = 4,\ \sigma^{-1}(3) = 5$
• $\sigma(4) = 6,\ \sigma^{-1}(5) = 7$
• ……

当然也可以不用贪心策略，选更大的数来生成其他无有限循环置换，比如 $\sigma(1) = 12,\ \sigma^{-1}(1) = 27,\ \sigma(2) = 400,\ \ldots$——只要保证不会形成循环就没问题。

我现在最纠结的就是开头的这个问题：目前我还没找到第一个例子里那个贪心构造置换的平方根，所以说不定它根本不存在？但我现在还想不通为什么会出现这种情况，希望能得到解答。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adam Rubinson