三元正实数条件不等式证明求助

我在Facebook上看到这么一道不等式题，卡了好久没做出来，想请各位大佬帮忙看看怎么推进：

设正实数 $x,y,z$ 满足 $x+y+z=x^2+y2+z^2$，求证：
$$\sqrt{\frac{xy}{z}}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{\frac{zx}{y}}+6\sqrt{xyz}\ge \sqrt{3x^{3+6xyz}+\sqrt{3y}3+6xyz}+\sqrt{3z^3+6xyz}.$$
来源：Phan Ngoc Chau

我的尝试过程 #

因为观察到等号在 $x=y=z=1$ 时成立，我首先用了AM-GM不等式来放缩右边的根号项：
$$2\sqrt{3x^{3+6xyz}=2\sqrt{3x(x}2+2yz)}\le 3x+x^2+2yz.$$
同理对另外两个根号项做相同处理，原不等式就转化为需要证明：
$$\sqrt{\frac{xy}{z}}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{\frac{zx}{y}}+6\sqrt{xyz}\ge\frac{(x+y+z)^2+3(x+y+z)}{2}.$$
把左边的项通分合并后，式子可以进一步整理为：
$$\frac{xy+yz+zx+6xyz}{\sqrt{xyz}}\ge\frac{(x+y+z)^2+3(x+y+z)}{2}.$$

接下来我用对称式替换简化，设 $x+y+z=p,\ xy+yz+zx=q,\ abc=r$。根据已知条件 $x+y+z=x^2+y2+z^2$，结合平方和公式可以推出 $p^2=2q+p$，也就是 $q=\dfrac{p^2-p}{2}$。代入后需要证明的式子变为：
$$\frac{p^2-p+12r}{\sqrt{r}}\ge p^2+3p.$$
到这里我就卡住了，实在不知道怎么继续推导下去。

更新 #

后来Calvin Lin指出我之前的AM-GM放缩方向有问题，这个思路走不通。我又尝试用柯西不等式（C-S）来尝试：
$$\sqrt{\frac{xy}{z}}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{\frac{zx}{y}}+6\sqrt{xyz}\ge \sqrt{3}\cdot\sqrt{3(x^3+y3+z^3)+18xyz},$$
但这一步也没帮我靠近结论，还是没找到突破口。

有没有大佬能给点新的思路或者方法？谢谢大家了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1205829