关于温格求和（Wenger's Summation）的若干技术问题问询

最近偶然看到Avery Wenger随手想出来的这个问题，真的太有意思了！

先给大家明确一下核心定义：

• 设$s:\mathbb N\to\mathbb N$是数字和函数（比如十进制下就是各位数字的和）
• 定义$w:\mathbb N\to\mathbb N$为：
  $$w(n):=\min{k\in\mathbb N: s^k(n);\mbox{has a single digit}};\forall n\in\mathbb N$$
  简单说就是把n反复做数字和运算，直到得到个位数为止，这个过程需要的最少次数（后来才知道这其实叫加法持久度）。

接下来就是核心的温格求和了：
$$W_m:=\sum_{n=1}^m (-1)^{n+1}w(n)$$

这东西的图像简直离谱！一开始的走势特别“颠簸”，看起来乱糟糟的——跳变点基本都出现在10的幂的倍数位置。但随着m变大，图像居然越来越像一条直线！这是不是意味着它有渐近线性行为？有没有一个所谓的温格常数$\omega$，满足：
$$\lim_{m\to\infty} \frac{W_m}{m} = \omega;?$$
如果没有这样的常数，那它的渐近行为到底是什么？至少能不能证明序列$(W_m)_m$是无界的？

而且上面说的只是十进制的温格求和而已——为什么非要用10进制？二进制的温格求和表现如何？答案是更糟！

其实对每一个进制$b$，我们都能得到对应的温格求和序列$(W_m^{b)_m$，以及对应的温格常数$\omega}b$，这简直太妙了！这里还有个猜想：如果$a<b$，是不是$\omega^a>\omegab$？但交替符号的存在，把所有相关的证明都搞得无比棘手。

我真的被这个看起来无比朴素的过程能生成这么复杂的结果惊到了——完全是一种混乱的美感！而且这东西看起来和其他数学领域都没什么关联，现在的数学工具能不能解决这些问题啊？如果有人能找到关于温格求和的任何有趣结论，一定要告诉我！

对了，还要说明：Avery Wenger本人并没有用自己的名字命名这些概念，都是我自己瞎起的（Avery如果看到的话，谢谢你分享这个突然冒出来的绝妙问题！）

附：计算温格求和的Python脚本 #

我用这个简陋的脚本计算了温格求和的数值：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

b = 4 # 进制数，这里是四进制

def w(n):
    ap = 0 # 加法持久度
    while n >= b:
        aux = n
        sum = 0
        while aux > 0:
            sum += (aux % b)
            aux //= b
        n = sum
        ap += 1
    return ap

S = 0  # 温格求和的当前值
W = []
for n in range(1, 100000000): # 计算到1e8项
    S += w(n) * (-1)**(n+1)
    W.append(S)

更新内容 #

后来看到评论指出，$w(n)$其实就是加法持久度，十进制对应的序列是OEIS A031286。这个序列有个有意思的性质：每个正整数都会在里面出现无穷多次。另外，第一次出现N的数（十进制对应OEIS A006050）满足递推公式$a(N)=2\cdot b^{\frac{a(N-1)-1}{b-1}}-1$，而且这些数全是奇数——也就是说，N第一次出现在求和中时，对应的项是正号！这说不定是证明序列无界的突破口。

另外受评论启发，我画了四进制温格求和的图像，结果它一开始居然是向下走的，完全打破预期！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alma Arjuna