关于射影簇如何通过射影闭包被视为拟射影簇的技术问询

嘿，这个问题抓得很准！咱们先从定义入手，一步步理清楚逻辑：

首先得明确拟射影簇的核心定义：它是射影空间 ( \mathbb{P}^n ) 中的局部闭子集——也就是某个闭子集和某个开子集的交集。换个通俗点的说法，就是射影簇（闭子集）里挖掉一些闭子集后剩下的部分，或者直接是射影空间里的闭子集本身。

那回到射影簇本身：一个射影簇 ( X ) 本身就是 ( \mathbb{P}^n ) 里的Zariski闭子集对吧？那我们可以把它看作是它自己和整个射影空间 ( \mathbb{P}^n ) 的交集——而 ( \mathbb{P}^n ) 显然是它自己的开子集，这样一来，( X = X \cap \mathbb{P}^n )，完全符合拟射影簇“局部闭子集”的定义。

现在结合你提到的「射影闭包」来理解：射影闭包的作用是把仿射/拟仿射簇嵌入到射影空间里，得到包含它的最小闭子集。但对于已经是射影空间中闭子集的射影簇 ( X ) 来说，它的射影闭包就是它自己——因为不存在更小的包含它的闭子集了，即 ( \overline{X}^{\mathbb{P}n} = X )。

那从这个角度看，( X ) 就是它自己的射影闭包中的开子集（整个闭包都是它，自然是开子集），而拟射影簇也可以被描述为「某个射影闭包中的Zariski开子集」，这样就顺理成章地通过射影闭包的概念，把射影簇归到拟射影簇的范畴里了。

再给你梳理个清晰的逻辑链：

• 射影簇 ( X \subseteq \mathbb{P}^n ) 是闭子集
• ( X ) 的射影闭包 ( \overline{X} = X )
• ( X ) 是 ( \overline{X} ) 中的开子集（整个集合在自身中是开集）
• 满足拟射影簇的定义（射影闭包中的开子集/射影空间中的局部闭子集）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ねここねこ